对一道期末质量检测题的探究

题目(2022年1月厦门市高二期末质量检测试题)已知椭圆Γ:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0),焦点F(1,0),A,B是Γ上关于原点对称的两点,ΔABF周长的最小值为4+23.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线FA与Γ交于点M(异于点A),直线FB与Γ交于点N(异于点B),证明:直线MN过定点.