圆锥曲线光学性质的几何证明

“圆锥曲线的光学性质及其应用”是人教A版高中数学“选择性必修第一册”的一个阅读思考材料.通过阅读,学生可以了解圆锥曲线的光学性质和简单应用,但是没有给出光学性质的证明.学生除了用数学的眼光观察世界,还要学会用数学思维思考世界,探究物理现象的本质.在圆锥曲线的光学性质的证明中,通常是先根据曲线的方程利用导数求出切线,再利用斜率来计算直线之间的夹角来证明(如[1]),这涉及圆锥曲线的标准方程,计算比较复杂.也可以利用光的最短路径等几何性质来证明入射角等于反射角(如[2]).这些方法的共同特点是:先假定切线,然后再通过证明入射角等于反射角的方式来证明切线就是想要的反射镜面.