締合勒让德函数的展开及公式P_l^m(cosθ)=(-1)~m(l+m)!/(l-m)!P_l^(-m)(cosθ)的直接証明

在量子力学中讨论有心力场时,一开始就要遇到球谐函数Yl,m的归一化问题。解决的办法这一涉及要证明Plm（cosθ）=（-1）ml[（l+m）./（l-m）.]Pl-m（cosθ）这一公式。由于Plm（cosθ）与Pl-m（cosθ）完全用cosθ表示时,很难进行展开,因而不能将二者直接比较。故一般对上述公式的证明都不采用展开比较的办法。