再谈三角函数的无理性

“关于三角函数无理性的讨论”一文(见《如数学通报》1981年第8期)证明了部分有理度数的角的三角函数的无理性。本文将用更为简捷的方法证明比它更强的结果。定理1 若θ为有理数,且θ≠K·60°,θ≠K·90°(K 为整数),则cosθ一定是无理数。证明:设θ=q°/P(P·q 是互质的整数),显然有θ=q·90°/90P=q·90°/m(m=90P)。不失一般性,可假定 P>0。