用初等数学推导棱镜的最小偏向角

在常见的光学教科书里推导色散棱镜的最小偏向角往往采用微分法。本文用初等函数解析法推导最小偏向角,比较简明。推导如下:设折射率为 n 的棱镜置于折射率为1的真空中,如图。图中 M 和 N 分别为光线射入棱镜的入射点和射出棱镜的出射点,Mn1和 Nn2分别为棱镜两个侧面的法线,A 为棱镜的顶角。由附图不难得出偏向角δ为:δ=（α2-β1）+（α2-β2）=α1+α2-（β1+β2）=α1+α2-A （1）由上式可知,由于 A 为常数,要使δ为极小,则需（α1+α2）为极小。由折射定律得:sinα1=nsinβ1（2）sinα2=nsinβ2（3）将（2）式和（3）式相加得:sinα1+sinα2=n（sinβ1+sinβ2）2sin〔（α1+α2）/2〕cos〔（α1-α2）/2〕=2nsin〔（β1+β2）/2〕cos〔（β1-β2）/2〕