利用最小数原理证明多项式的几个常用定理

最小数原理 集合 M_c={X∈Z|X≥C,C是任一固定整数}的任意一个非空子集S必含有一个最小数,这个原理在整数论中是有重要作用的。本文将利用这个原理,证明多项式的几个重要定理,从而说明这个原理在多项式论中的作用。 定理1 (带余除法定理)设(?)f(x),g(x)∈F〔x〕,g(x)≠0,则存在g(x),(?)(x)∈F〔x〕,使得 f(x)=q(x)g(x)+(?)r(x), (1)这里或者r(x)=0,或者(?)r(x)<(?)g(x),同时,满足上述条件的q(x)和r(x)只有唯一的一对。 证明 若g(x)|f(x),结论显然成立。 若g(x)|f(x)不成立,这时,对(?)h(x)∈F〔x〕,f(x)g≠(x)h(x),即f(x)-g(x)h(x)≠0。