加权条件数在矩阵扰动问题中的极小性质

Minimum Property of Weighted Condition Number in Matrix Perturbation Problems

设A∈C_r^(m×n),r≤min(m,n)。对于加权条件数K_(MN)(A)=||A||_(MN)||A_(MN)^+||_(NM),本文指出在一定条件假设下,K_(MN)(A)在矩阵扰动问题中的极小性质。主要结果如下: 1.设A∈C_r^(m×n),E是A的任意小扰动矩阵。R(E)(?)R(A),R(E)(?)R(A)且||A_(MN)^+||_(NM)||E||_(MN)<1,有 ||(A+E)_(MN)^+ -A_(MN)^+N||_(NM)/||A_(MN)^+||_(NM)≤SMN(A)||A||_(MN)/1-ξ_(MN)(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)成立,则有K_(MN)(A)≤ξ_(MN)(A)。 2.设A∈C_r^(m×n),E为A的任意小扰动矩阵。r(A+E)=r(A),且||A_(MN)^+||_(MN)||E||_(MN)<1,有 ||(A+E)_(MN)^+-A_(MN)^+||_(MN)||/A_(MN)^+||_(NM)≤C ηMN(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)/1-ηMN(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)成立,则K_(MN)(A)≤cη_(MN)(A)。其中 c={1+5^(1/2)/2 当r<min(m,n) 2^(1/2) 当r=min(m,n)<max(m,n)当r=m=n。

On the basis of the reference [4], this paper shows the weighted condition number K_(MN)(A) to be minimum in the inequality of error analysis, which is introduced from matrix perturbation problems.