路径积分蒙特卡罗方法

本文提出了一种比以往的Metropolis付里叶级数和算法更精确和简捷的计算量子热力学函数的Monte Carlo(M-C)无规行走方法。 考虑一个N粒子系统,其哈密顿量为H=∑(1/2)m_i(?)_i^2+V(x_1,x_2,…,x_N),平衡态配分函数的路径积分是 z(β)=integral from (dx_1dx_2…dx_N) integral from (D[x_1]D[x_2]…D[x_N]exp{-1/n integral from 0 to βh (([1/2 sum from i=1 to N(m_i(?)_i^2+V(x_1,x_2…,x_N)]dt)} (1) 先解析地完成动能积分,再用M-C无规行走方法计算势能项积分。 z(β)=multiply from i=1 to N (m/(2πh^2β))1/2 integral from dx_1dx_2…dx_N 1/M sum from k=1 to M (exp[-βV_k(x_1,x_2,…,x_N)] (2) 式中M是M-C无规行走的轨道个数。对第K次行走,势能项为 V_k=1/S{1/2[V(x_1,x_2…,x_N)+V(x′_1,x′_2,…,x′_N)]+sum from j=1 to S-1 V(x_(1j),x_(2j),…,X_(Nj)} (3) 这里S是每条路径离散化数目。满足同一个边界条件x_i(0)=X_i,x_j(πβ)=x′_i的第i条轨道{x_(ij)}由位于(0,1)区间的M-C变量{ω_(ij)}所产生 x_(ij)=x(ij-1)(S-j)/(S-j+1)+x′_i(S-j)/(S-j+1)+[2πh^2β/m_i (s-j)/S(S-j+1)]^(1/2)z_i(ω_j),j=1,2…S-1 (4) 其中z(ω)是ω(z)的反函数,ω(z)=integral from (exp(-πz′~2)dz′;