一道不等式的联想、推广和应用

全日制十年制学校高中课本第三册第58页有这样一道题:已知a、b都是正数,并且a≠b,求证a^5+b^5>a^3b^2+a^2b^3。教科书上采用比较法证明如下:(a^5+b^5)-(a^3b^2+a^2b^3)=(a^5-a^3b^2)-(a^2b^3-b^5)=a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^3-b^3)。如果a>b>0,那么a^2>b^2,a^3>b^3,(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0; 如果0<a<b,那么,a^2<b^2,a^3<b^3,(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0,∴当a≠b时,(a^2-b^2)(a^3-b^3)>0,即 (a^5+b^5)-(a^3b^2+a^2b^3)>0。∴a^5+b^5>a^3b^2+a^2b^3。由于学生不善于对a>b>0和0<a<b分别情况进行讨论,对于上述判断差的符号还可另证如下:在作差分解因式后得(a^2-b^2)(a^3-b^3),再继续分解为(a-b)~2(a+b)(a^2+ab+b^2),在a≠b,a、b>0条件下。