球面上两点间的最短距离

在统编数材高中数学课本第二册62页上有这样一句话:“球面上两点间的最短距离,就是经过这两点的大圆被它们所分成的两个弧中较小的一个的弧长。”这一题目的证明方法可有多种,下面给出一种比较简明的证法,也是导数在几何中应用的一个例子。引理一:设0<θ<π/2则θ<tgθ证明:见图(1), ∠A=90°扇形OAB的面积<△OAM的面积即1/2·OA^2·θ<1/2·OA·AM 引理二:定弦所对的劣弧长是该弧所在圆的半径长的减函数。证明:见图(2),设定弦AB的长为a,x表示圆半径(2x>a),y表示AB弦所对的劣弧长则y=2θ·x即y=2x·arcsina/2x于是,y′=2aresina/2x 由引理一知,y′<0. ∴y=2x·arcsina/2x是减函数,定理得证。由引理二可知,在两个不相等的圆中,如果有相等的弦,那么大圆中等弦所对的劣弧长小于小圆中等弦所对的劣弧长。从而就可以断定。