一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)] =a^3-(b+c)a^2+(b^2+c^2-bc)a+(b+a)a^2-(b+c)~2a+(b+c)(b^2-a^2-bc) =a^3+(b^2+c^2-bc-b^2-2bc-c^2)a+b^2+c^3 =a^3+b^3+c^2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c^3-3abc =(a+b)~3+c^3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)