算术——几何平均值的又一应用

算术——几何平均值的应用非常广泛,这是大家所熟知的。本文的目的是说明它除了用来证明不等式和求函数的极值外,还能解决一些特殊方程的问题。兹仅举二例略述一二,供参考。例1.求方程x（2-y2）1/2+y（2-x2）1/2=2的正整数解解:∵ x,y为正数, ∴ x（2-y2）1/2≤(x2+（2-y2）/2 （1） （等号仅在x2=2-y2成立） y（2-x2）1/2≤(y2+（2-x2）/2 （2） （等号仅在y2=2-x2成立） （1）+（2）得:x（2-y2）1/2+y（2-x2）1/2≤2 但由方程x（2-y2）1/2+y（2-x2）1/2=2 显然等号在x2=2-y2和y2=2-x2时取得故 x2=2-y2即x2+y2=2 ∵ x,y为正整数,∴ x=1。