一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:nn+1>（n+1）n（3≤n∈N）这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明nn+1>（n+1）n成立,变形为n1/n>（n+1）1/（n+1）,由此可以看出只要证明函数f（x）=x1/x（x≥3）为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f（x）=x1/x（x≥3） 则 f′（x）=(x1/x)′=(e1/xlnx)′ =e1/xlnx·（1-lnx）/x2。