多元函数极值点的一个性质

我们知道,对于一元二次连续可微函数f（x）,若在点x0,f′（x0）=0,f″（x0）<0（f″（x0）>0）,则f（x）在点x0取极大值（极小值）。反之,若f（x）在点x0取极大值（极小值）,则f′（x0）=0,f″（x）≤（f″（x）≥0）。 同样,对于n元函数f（x）,若在点x0,DF（x0）=（D1f（x0）,D2f（x0）,…,Dnf（x0））=0,D2f（x0）=[D?f（x0）]负定（正定）则f（x）在点x0取极大值（极小值）。反过来也有与一元函数类似的结论,而且在二阶椭圆方程的极大值原理中要用到,但到现在为止,没有文章给出结论及证明。为此我们给出下面的定理。