三角形面积比的一个定理及其应用

定理:设 A′、B′、C′分别在△ABC 的三边BC、CA、AB 上,若 AC′:C′B=p,BA′:A′C=q,CB′:B′A=r,△ABC 与△A′B′C′的面积分别为 S和 S_0,则S_0/S=(pqr+1)/(p+1)(q+1)(r+1).(*)证明:设△AC′B′、△BA′C′,△CB′A′的面积分别为 S_1、S_2、S_3,则由三角形面积比的性质,可得S_1/S=(AC′·AB′)/(AB′·AC′).根据已知条件,由 AC′/C′B=p,可得 AC′/AB=p/(p+1);由 CB′/B′A=r,可得 AB′/AC=1/(r+1).∴S_1/S=p/(p+1)(r+1),∴S_1=pS/(p+1)(r+1)。