关于同余方程X^P+Y^P+Z^P≡0(modP^2)的整数解

设P为素数,利用初等数论方法研究了三元同余不定方程X^P+Y^P+Z^P≡0(modP^2)的整数解问题;证明了同余方程X^3+Y^3+Z^3≡0(mod^9),X^5+Y^3+Z^5≡0(mod25),X^(11)+Y^(11)+Z^(11)≡0(mod11~2),X^(17)+Y^(17)+Z^(17)≡0(mod17~2)均无整数解,并证明了同余方程X^7+Y^7≡Z^7(mod7~2)仅有解;17+27≡37(mod72);X13+Y13≡Z13(mod132)仅有解1^(13)+2^(13)≡4^(13)(mod13~2)和2^(13)+5^(13)+6^(13)≡0(mod13~2);X^(19)+Y^(19)+Z^(19)≡0(mod19~2)仅有解1^(19)+7^(19)≡8^(19)(mod19~2),2^(19)+3^(19)≡5^(19)(mod19~2),4^(19)+6^(19)+9^(19)≡0(mod19~2).