■(x)与C(x)的初等等价问题

ELEMENTARY EQUIVALENT PROBLEM ON■(x) AND C(x)

Jensen在[1]中提出了一个问题:■(x)与C(x)是否初等等价,其中■是全体代数数构成的数域,C是复数域,■(x)与C(x)分别是■与C上的一个变数x的有理函数域。本文将利用共轭复数概念证明■(x)与C (x)不是初等等价的。为了叙述上的方便,以下设N,Q,■,C分别表示自然数集,有理数域,全体代数数构成的域,复数域;F(x)表示数域F上一个变数x的有理函数域。1■(x)与C(x)的初等等价问题为了证明主要定理,先列举一些有关的概念及引理。定义1 设F是一个数域,如果F■■_x■_Y■(x^2+Y^2=z^2),则称F是一个Pythagoras数域。

The following theorems are proved: Rational function field ■(x) and C(x) with conjugate concept are not elementary equivalence. Let R■ be the field of all real algebraic numbers, R be real number field, then for any non-empty {x_i} of indeterminates, R■[{x_i}]■R[{x_i}].