数学史如何影响教师的数学观——基于两种理论视角的案例研究

有关数学的信念、观点、规则、心理意象等统称数学观,教师认为数学是什么的观念深深影响了其认为数学应该怎样教学的观念,进而影响具体教学实践.结合数学观分类及反思性数学观模型两种理论视角,借助案例研究法,深入刻画了3位在职教师数学史学习过程中数学观的变化及影响因素.研究发现:演进史—历史背景可增强教师问题解决倾向,促使教师认识到数学的动态性、人文性等;演进史—数学内容促使教师关注知识联系,增强柏拉图主义倾向,关注知识缘由,弱化工具主义倾向;枚举史—数学内容促使教师认可数学的灵活性及本质性,弱化工具主义倾向.

HPM视角下的数学教学设计:以椭圆为例

发生教学原理是HPM视角下数学教学设计的主要理论依据,要求根据重构的历史进行教学.以椭圆为例考察椭圆的历史,并对其进行重构,据此进行教学设计.教学实践表明：HPM视角下的椭圆概念教学创造了学生的学习动机,激发了学生的学习兴趣,对于椭圆焦半径性质的旦德林球推导法,学生在理解上并没有困难;进一步的问卷调查发现：较之教材上的椭圆引入方法,大多数学生更愿意接受HPM视角下的引入方法.因此,有必要进一步深入开展HPM视角下的数学教学研究,开发更多的HPM教学案例,让数学史融入数学教学不再成为一句空话.

HPM研究的内容与方法

HPM是一个方兴未艾的学术研究领域,目前已经得到我国数学史界和数学教育界的普遍关注.数学教育取向的数学史研究,基于数学史的数学教学设计,关于历史发生原理的实证研究,数学史融入数学教学的实验研究等是HPM研究的主要方向.

HPM的历史渊源

数学史对数学教育的意义在19世纪已经引起西方数学史家的注意,法国数学家泰尔凯、英国数学家德摩根等都是其中重要的先驱者.20世纪上叶,一些欧美数学家,如卡约黎、庞加莱、史密斯等大力提倡数学史在数学教学中的运用.20世纪70年代,HPM成为一个独立的学术研究领域.今天,HPM已成为国际数学教育的新思潮之一.历史考察表明:HPM的学术源流是清晰可寻的.

古为今用:美国学者眼中数学史的教育价值

数学史与数学教育关系 (HPM)是兴起于 2 0世纪 70年代的一个数学教育研究领域。从 19世纪末开始 ,美国数学史家和数学教育家们对数学历史的教育功能多有阐述 ,成为促进HPM创立并深入发展的重要推动力量。这些功能包括 :激发学生的学习兴趣、改变学生的数学观、使数学人性化、让学生从原始文献汲取数学家的原始思想和社会文化信息、帮助学生更好地理解和欣赏数学、增强学生的自信心、通过历史可以了解学生学习数学的困难和认知过程、为教材编写提供借鉴等等。这些功能对于我们今天运用科学史于科学教育的实践具有一定的借鉴和指导意义 ,也让我们树立这样的信念 :数学史并不是无用的学问。

数学写作在美国

写作与学习的密切关系很早就受到美国教育界的关注,这反映在20世纪60年代诞生的"贯穿于课程的写作"运动.自20世纪70年代开始,美国数学教师、数学教育研究者在数学写作方面作了许多尝试、应用和研究,积累了许多经验和方法,得出了数学写作在发展数学知识、成就问题解决、培养反思行为、促进情感流露、加强对话交流等方面的重要功能.数学写作在美国已经较为广泛地被用作数学学习的工具.

从一次测试看关于学生认知的历史发生原理

历史发生原理是运用数学史于数学教育的重要理论基础之一.就数学教育而言,个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序.研究表明:高中一年级学生对虚数相乘问题和无穷级数求和问题的认知过程在很大程度上重蹈了历史发展过程,这验证了学生认知的历史发生原理的有效性.

高中生对实无穷概念的理解

自古希腊时期开始直到19世纪,实无穷这个概念一直困扰着数学家.亚里士多德只接受潜无穷,伽利略认为两个无穷集合无法比较大小,波尔察诺提出“包含关系”准则,康托尔最终才提出“一一对应关系”的准则.高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上的数学家的理解、困惑以及所用策略是相似的.因而印证了M.克莱因的论断——“历史是教学的指南”。

《几何原本》在初中数学留白创造式教学中的应用

初中数学教科书中的几何概念和命题大多可以在古希腊数学典籍《几何原本》中找到源头,《几何原本》中的有关内容能为留白创造式教学提供问题源泉和思想启迪。本文通过具体的例子来分析《几何原本》中的有关定义、公理、命题和思想方法在留白创造式教学中的具体运用,初步总结了六种留白策略:留陈述之白,促定义创新;留方法之白,助表征转化;留论证之白,引思维延伸;留发现之白,致新知创获;留问题之白,激探究兴趣;留超越之白,启思想升华。

20世纪初美国数学教科书中的几何应用——以建筑为例

20世纪初，在数学教科书中反映数学的应用价值，是当时数学课程改革的途径之一．就“建筑中的数学”这一主题而言，以杜雷尔、贝兹、史密斯、帕尔默为代表的美国早期数学教育家们筚路蓝缕、精心搜求，根据不同建筑物、建筑元素和装饰性图案，编制出丰富多彩的作图问题、证明问题和计算问题，揭示几何学与现实世界的密切联系，凸显几何学的广泛应用和巨大价值，展现几何学的迷人魅力，从而大大丰富了中学几何课程的内涵，为中学几何教学注入了鲜活的生命力．这些早期教科书提供了丰富的教学素材和思想养料．

平面解析几何的产生(一)——古希腊的三线和四线轨迹问题

高中新课程首次将数学史专题列入选修课（系列3-1），数学史选修课教什么、怎么教？这个问题已经摆在广大中学数学教师面前，亟待解决．这里，“教什么”指的是11个专题中哪些专题适合于中学课堂教学，“怎么教”指的是对于选定的专题，我们如何对史料做出取舍、对问题进行改编、对教学进行设计．数学史专题并非高考内容，在新课程要求和高考压力之间，我们需要寻求平衡点，对于数学史专题的教学，

平面解析几何的产生(二)——费马与解析几何

对于有着“业余数学家之王”美誉的17世纪法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601～1665），人们已经十分熟悉，关于他的生平，读者可以在任何数学通史著作和有关数学史网站上查阅到，故不赘述．费马在图卢斯大学毕业后，在波尔多师从韦达（F．Viete，1540--1603）的弟子们学了好几年数学，

HPM与初中数学教师的专业发展——一个上海的案例

HPM介入数学教学后，实验教师逐渐形成了自己的教学风格，对教材的批判能力有了提升，对教材的拓展意识有了增强，对学生的认知规律有了更深刻的理解，教学研究能力也有了改善．HPM可以有效促进中学数学教师的专业发展．在教师培训中，有必要加强数学史的教学：可以先开发若干成功的HPM教学案例，并将其推广，使广大一线教师看到数学史融入数学教学的真实效果；要让HPM从书斋真正走进中学课堂，还应加强大学研究者与中学一线数学教师之间的合作．

HPM视角下的高等数学教学

本文通过极限和悬链线的教学片段,提出高等数学教学中的HPM问题,认为历史文化向度的数学教学可以起到增加数学课堂趣味性、预见和解释学生的学习困难、让学生领会数学价值、领略数学美的重要作用.

艾约瑟:致力于中西科技交流的传教士和学者

本文对 1 9世纪来华传教士、英国著名汉学家艾约瑟的生平 。

使用否定属性策略的问题提出

数学问题提出具有重要的教育价值．使用否定属性策略的问题提出可以帮助教师分析学生数学知识的理解状况．研究发现：在给定的解析几何情境下，中学生能够运用否定属性策略来提出各种各样的新数学问题；学生所提问题包括保留所求项和改变所求项两大类，每一类又包括改变数据和改变曲线类型两种情形；相当多的学生在否定属性时，未能考虑新旧属性之间的相容性，因而提出了无效的问题．总体上看，学生在属性列举、属性否定和问题提出上表现欠佳．

M·克莱因的数学教育思想与高等数学教学

M·克莱因数学教育思想的核心内容是数学史为教学的指南 :数学教材的编写和数学课堂教学都应以史为鉴 ,通过数学的发展史来了解学生的认知发展规律 ,通过数学家的困难来解释和克服学生的学习困难 ,改变学生错误的数学观 ,根据历史发展的顺序来安排教学内容的顺序 ,利用历史背景知识来激发学生的兴趣 ,展示数学的魅力 ,创造学习的动机 .在这种数学教育思想指导下的课堂教学具有浓郁的人文气息 ,数学因此不再索然寡味 ,不再冰冷无情 ,不再一味抽象 ,不再孤芳自赏 ,不再远离现实 。

关于《代微积拾级》的一个注记

对我国第一部微积分课本《代微积拾级》中曲线凹凸性概念和拐点判定方法作了历史考察 ,指出其中的缺陷 。

17～19世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术

17～19世纪法国数学家发展了圆周率的古典计算方法.给出了等周法、等积法、圆周法、面积法,4种方法无一例外地从两边逼近圆周率.从中未能获得圆周率的加速方法;而刘徽利用了只从一侧逼近的割圆术获得了超越时代的加速方法.因此割圆术更具优越性.另一方面,利用法国数学家的结果.可以简易地给出刘徽加速方法的证明.本文研究的目的是证明这样一个事实:中西数学的交流是互惠互利的.

欧拉与自然数平方倒数和

自然数平方倒数和是 17世纪下半叶的著名数学难题之一 ,它困惑着欧洲当时一流的数学家 .欧拉凭借类比思维方法 ,出人意料地解决了这个难题 .该文对欧拉的几种鲜为人知的方法———幂级数法和“吉拉尔—牛顿公式”