关于丢番图方程x^4±y^6=z^2与x^2+y^4=z^6

利用初等数论方法证明了丢番图方程 x4 ± y6=z2 与 x2 +y4 =z6均没有适合 ( x,y) =1的正整数解 .

关于丢番图方程x^3+y^3=Dz^2

设D为无平方因子且不被 6k+ 1形素数整除的正整数 ,获得了方程x2 +y2 =Dz2的全部整数解的简洁表达式及其深刻性质 ,证明了方程x3 +y3 =Dz4仅有有限组整数解 .

Bernoulli数与判别素数的充要条件

利用等幂和与判别素数的充要条件及等幂和与 Bernoulli数的同余关系 ,获得与 Bernoulli数有关的判别素数的充要条件 ,还得到整除 Bernoulli数的充要条件 .

关于丢番图方程x^6±y^6=Dz^2

设正整数D无平方因子且不被 6k +1形素数整除 ,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2 ,(x ,y) =1除开x6±y6= 2z2 仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ;同时获得了方程x6±y6=PDz2 (P为奇素数 )

关于广义Fermat猜想

利用初等方法证明了丢番图方程 x2 + y4 =z5,x2 -y4 =z5(2 | y) ,x5+ y5=z2 (2 | z) ,x4 ± y4 =z2 和 x10 ± y10 =z2 均没有适合 (x,y) =1的非零整数解 ,从而推进了广义 Fermat猜想的研究进展 .

关于丢番图方程x^3+y^3=Dz^4

证明了丢番图方程x3 +y3 =Dz4 ,(x,y) =1在D =1,2,3,4,6,8,12,18,2 4,2 7,3 6,54,72,10 8,2 16时仅有xyz≠ 0的整数解(D,x,y,z)=(2,1,1,± 1),同时猜想方程x3 + y3 =9z4 仅有xyz≠ 0的整数解(x,y,z)=(1,2,± 1),(71,-2 3,± 14)

关于费尔马数为伪素数的充要条件

本文证明了任何费尔马合数都是伪素数，但都不是绝对伪素数；ｐ＞２，ｐ｜Ｆｎ的充要条件是，２关于模ｐ的次数为２ｎ＋１；素数ｐ｜Ｆｎ，则ｐｓ｜Ｆｎ的充要条件是，２ｐ－１２≡１（ｍｏｄｐＳ）．

关于等幂和的简捷递推公式

等幂和Sm(n)=1m+2m+…+nm是一个古老的难题,在G.Giuga猜想等数论问题的研究中有着重要的作用.本文获得了等幂和的两个简捷递推公式,从而改进了陈景润与黎鉴愚的结果.利用这些递推公式可以很快循环地获得等幂和公式,并且给出了第31～40个等幂和公式.

关于等幂和的计算程序

根据等幂和的结果,利用Maple7给出了等幂和公式的三个计算程序,并且对每个程序作了效率分析,利用这些程序可以很快地获得上千个等幂和公式。

等幂和与Bernoulli数的通解公式

获得了等幂和组合表示与Ｍ Ｎ 表示的简洁计算公式，得到了Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的几个新的通解公式．

关于丢番图方程x^4±y^4=mz^4

利用初等方法获得了丢番图方程 x4± y4=m z4有适合 (x,y)

方程x^p±y^(2p)=z^2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp+y2p=z2 仅有整数解 16+2 3 =32 ;方程x2p+2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p+2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.

关于Tijdeman猜想(Ⅰ)

设p≡ 5 (mod 6 )是素数 ,D是无平方因子且不被p和 6k +1形素数整除的正整数 ,运用初等数论方法 ,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz2 在D =1,2 ,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质 ,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展 .

伯努利数与判别素数的充要条件

根据等幂和与判别素数的充要条件，获得了伯努利数与判别素数的充要条件，并利用所得结果对居加猜想进行了讨论，证明了：若ＳＰ－１（Ｐ－１）≡－１（ｍｏｄｐ）成立，则Ｐ是素数或者Ｐ＝Ｐ１Ｐ２…ＰＳ是绝对伪素数，并且ＰＢＰ－１的分母，Ｐ｜（ＰＢＰ－１＋１）的分子；ＰＰｉ≡１（ｍｏｄＰｉ）；∑ｓｉ＝１１Ｐｉ－１Ｐ是整数；在２≤２ｍ≤（ｐ５－１）内必存在偶数２ｍ，使得对每个Ｐｉ均有Ｐｉ－１｜２ｍ，Ｐ｜Ｂ２ｍ的分母，Ｐ｜（ＰＢ２ｍ＋１）的分子．

关于丢番图方程x^6±y^6=pz^2的正整数解

设p >3是素数 ,证明了丢番图方程在x6+y6=pz2 在p 1(mod 2 4 )时无正整数解 ,方程x6-y6=pz2 在p 1,7,19(mod 2 4 )时无正整数解 ;并且获得了以上方程在p≡1,7,19(mod 2 4 )时有正整数解的必要条件及其部分计算结果 ,从而从正面支持了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想 .

Bernoulli数与素数的判别

利用等幂和与判别素数的充要条件 ,获得了 Bernoulli数与判别素数的充要条件 ,得到了整除 Bernoulli数分子的判别方法 .

关于Bernoulli数的同余关系

利用等幂和与判别素数的充要条件， 获得了Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的同余关系， 得到了整除Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数分子的判别方法．

关于丢番图方程x^3±y^6=Dz^2

设D是无平方因子且不被 6k+1形素数整除的正整数,运用初等数论方法,获得了丢番图方程x3 ± y6=Dz2 全部整数解的通解公式,获得方程在D =1,2,3,6时的全部整数解,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.

关于Bernoulli数与Bowen猜想

获得了等幂和与 Bernoulli数的同余关系 ,利用所得到的结果对 Bowen猜想进行了讨论 ,得 :若方程Sm(n) =(n +1) m有 m >1的解 ,则 m≥ 2 8为偶数 ,6 n Bm≡ 6 (mn +1) (mod n2 ) ,n =2 p1 p2 … p S,pi - 1|m,npi≡ m ((pi - 1) !+pi +1) - pi - 1(mod p2i) .

关于丢番图方程x^3+y^3=pDz^4

设 p≡ 5(mod6 )是素数,D是无 4次方因子且不被 p和 6k +1形素数整除的正整数,运用数论方法,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz4在D=1,2,3,4,6,8,9,12,18,2 4,2 7,36,5 4,72,10 8,2 16时无整数解的充分条件。