改进的Mertens第一定理估计及应用

在Mertens第一定理的基础上,利用定积分估计的主要思想和Stirling’s公式的估计,对Mertens第一定理中的估计不等式进行了进一步的精确化,得到了更好的估计。改进的估计结果比原来的Mertens第一定理中的估计更加精确。把改进的Mertens第一定理估计应用到一个具体的渐近公式中,提高了该渐近公式中Landau记号里对应常数的精度范围。

三类低复杂度基及其对偶基

设N={α_(0),α_(1),…,α_(n-1)}是E在F上的一组基,构造了一类给定乘法表及复杂度为3n-2的低复杂度正规基,根据迹函数和乘法表的相关概念,证明其对偶基M的生成元的形式,并证明了对偶基的复杂度为3n-2或3n-3.计算了E在F上的伪自对偶多项式基和弱自对偶多项式基的复杂度.为密码学领域寻找优化的算法,选择合适的基提供了理论依据.

关于冰雹猜想(Ⅱ)

《关于冰雹猜想(Ⅱ)》是《关于冰雹猜想(Ⅰ)》的继续.首先用排序法求出跌落数的均值.有了均值这个工具,就可以证明定理2.2,进而又证明了定理2.3.定理2.3是说:由1开始的枝状图中,包含了所有大于1的奇数.这是一个与冰雹猜想等价的命题,在此成为一个定理.定理2.5给出了迭代次数m的一个上界,这个上界仅与x1有关.所以,任给一个大于1的奇数x1,则经过有限步即m步就可以迭代到1.

不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的整数解

给出不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的一种参数求解方法,以及该不定方程的一种拆分求解方法.

Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解

设D=2p_(1)⋯p_(s)(1≤s≤4),其中p_(1),⋯,p_(s)是互不相同的奇素数。主要利用奇偶分析、同余、递归序列以及Pell方程解的性质等初等方法,对Pell方程组x^(2)-40y^(2)=1与y^(2)-Dz^(2)=9的公解进行研究。得出当D≠2×7×103时,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0);当D=2×7×103时,除了平凡解(x,y,z)=(±19,±3,0)外,还有非平凡解(x,y,z)=(±27379,±4329,±114)。研究结果丰富了这类Pell方程组整数解的研究内容。

三次Diophantine方程x^(3)+1=pQy^(2)的整数解

利用同余式、Legendre符号、递归数列、Pell方程解的性质以及一些初等数论方法得到以下结论:当p、Q分别为6k+1和6k-1型奇素数或p、Q为2个互不相同的6k+1型奇素数时,丢番图方程x^(3)+1=pQy^(2)仅有整数解(x,y)=(-1,0).

一类包含广义欧拉函数的方程的可解性

伪Smarandache函数、SmarandacheLCM函数以及广义Euler函数都是重要的数论函数,本文研究了由这三类函数组成的数论函数方程Z(n^(2))=φe(SL(n^(2)))的可解性问题.利用整除的性质和同余的方法,获得了该方程在e=6时无正整数解的结果.推广了数论函数方程Z(n^(2))=φe(SL(n^(2)))无正整数解的结果.

“铸魂育人”视域下初等数论课程思政教学探索

课程思政是新时代背景下高等学校落实“立德树人”的重要手段,对培养适应社会发展的人才发挥着非常重要的作用。初等数论课程是数学和小学教育专业重要的必修基础课之一,对培养适应社会发展的高素质教育建设者和接班人具有重要的影响,基于“铸魂育人”理念,结合课程内容特点,以培养学生的科学精神、文化自信、美学修养和创新思维的品行为主线,提出“四融入一渗透”的初等数论课程思政教学路径,将德育元素与专业知识融于一体,领会数学的魅力,有助于增强学生为社会服务的意识和能力。

奶牛数之和为好奇数

本文旨在找到所有可以表示为两个奶牛数之和的好奇数。奶牛数列满足三阶递归关系:N_(n)=N_(n-1)+N_(n-3)(n≥3)及N_(0)=0、N_(1)=N_(2)=1。针对奶牛数之和为好奇数的问题,建立相应丢番图方程,将方程整理成不同形式,通过对数线性型求出各个未知量的一个较大的上界;再通过缩减方法,把各个未知量的较大上界缩减为一个可计算上界;最后,根据未知量的可计算上界,应用Mathematica得出所有可表示为两个奶牛数之和的好奇数。

数论函数方程S(SL(n^(k)))=φ_(e)^(2)(n)的可解性

设n为正整数,利用Smarandache函数S(n)、Smarandache LCM函数SL(n)以及广义Euler函数φ_(e)(n)的定义及相关性质,结合初等数论方法与技巧,证明了方程S(SL(n))=φ_(2)^(2)(n)仅有正整数解n=8,12,以及方程S(SL(n^(2)))=φ_(e)^(2)(n)(e=1,2)在e=1时,仅有正整数解n=1;在e=2时,仅有正整数解n=9,18.

广义Fibonacci序列的Dedekind和

设{U_(n)}为广义Fibonacci序列,n为自然数,根据Dedekind和的定义和相关性质,研究了广义Fibonacci序列的Dedekind和S(U_(n),U_(n+1)),得到了和式∑^(m)_(n)=1S(U_(n),U_(n+1))的结果,其中m为正整数,推广了文[8]中的一个结果.

丢番图方程x^(3)+1=603y^(2)的整数解

设D含有6k+1型的素因子,其中k是正整数,关于丢番图方程x^(3)+1=Dy^(2)(D>0)的求解一直是数论中未彻底解决的问题之一.利用同余式、递归序列、因式分解法以及Pell方程解的性质及初等数论方法,并结合分类讨论的数学思想,研究了丢番图方程x^(3)+1=603y^(2)在不同情形下的整数解问题,得到了当D=603时,该丢番图方程有且仅有平凡整数解(x,y)=(-1,0),此结论对这一类方程的研究具有一定的借鉴作用.

素数幂和形式的卢卡斯平衡数

对于卢卡斯平衡数C_(n),研究了丢番图方程C_(n)=2^(a)+3^(b)+5^(c)+7^(d),0≤max{a,b,c}≤d的整数解问题.通过Matveev定理和缩减方法得到方程仅有解(n,a,b,c,d)=(2,1,1,1,1).

形如8k+1、8k-1、8k+3和8k-3(k∈Z)的素数都有无穷多个

尝试利用反证法和分类讨论法等,分别给出了“形如8k+1(k∈Z)的素数有无穷多个”、“形如8k-1(k∈Z)的素数有无穷多个”、“形如8k+3(k∈Z)的素数有无穷多个”和“形如8k-3(k∈Z)的素数有无穷多个”的严格证明。所用知识都是初等数论中的基础知识,仅限于素数、整除、同余和Legendre符号的一些基本性质。为了证明主要结论,还首先推导出了两个很有用的引理。

关于一个新的Ro-Ramanujan型连分数

引入新的Rogers-Ramanujan型恒等式,通过猜测相关量和证明递归关系,给出了一个新的Rogers-Ramanujan型连分数,对先前Rogers-Ramanujan的连分数展开列表进行扩充.

关于不定方程x^(3)-1=151y^(2)的整数解

利用同余、递归数列、因式分解等相关性质,证明了丢番图方程x^(3)-1=151y^(2)有且仅有一个整数解(x,y)=(1,0)。

关于素数个数的一个不等式的加强

对于任意■,记π(x)表示满足p≤x的素数p的个数.利用π(x)的确界不等式,对■的下确界作了进一步的加强,从而改进了Bencze不等式.

不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的整数解

给出不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的一种参数求解方法,分别对K=4D和K≠4D两种情况进行讨论,得到相应不定方程的参数解求解公式,其中K,D是互素的整数且KD>0。

关于冰雹猜想(Ⅰ)

系统地讨论了冰雹猜想,给出了一系列定理,并得到了预期的结果.因本文压缩后的篇幅仍较长,现分成相对独立的三篇.在《关于冰雹猜想(Ⅰ)》中,首先叙述了冰雹猜想的内容,给出了枝状图概念,证明了基本定理.然后给出了一套新的算法,成功地将冰雹猜想纳入到新算法之中,从而使这个猜想的解决变成了可能.本文是为后续的两篇文章做准备的.更多的定理和结论将在《关于冰雹猜想(Ⅱ)》和《关于冰雹猜想(Ⅲ)》中给出.

涉及调和数的新同余式

设p>3为素数.对任何p-adic整数a,我们决定出p−1 X k=0 −k a a−1 k Hk,p−1 X k=0 −k a a−1 k Hk(2),p−1 X k=0 −k a a−1 k H(2)k 2k+1模p 2,其中Hk=P 0<j<k 1/j且Hk(2)=P 0<j>k 1/j2.特别地,我们证明了p−1 X k=0 −k a a−1 k Hk≡(−1)p 2(Bp−1(a)−Bp−1)(mod p),p−1 X k=0 −k a a−1 k Hk(2)≡−Ep−3(a)(mod p),(2a−1)p−1 X k=0 −k a a−1 k H(2)k 2k+1≡Bp−2(a)(mod p)其中p表示满足a≤r(mod p)的最小非负整数r,Bn(x)与En(x)分别表示次数为n的伯努利多项式与欧拉多项式.