广义Kloosterman和及它的四次均值

为了研究对任意素数模p的一类广义Kloosterman和的四次均值,利用初等与解析方法、Gauss和以及三角和的转换性质引入了当素数p≡1 mod 4时该均值的计算问题,并将该类均值转化为特征和的简易形式。从计算结果上对均值的估计具有充分性,从计算方法上对广义Kloosterman和各种形式的四次均值研究具有重要的参考价值。此外,这也为指数和均值计算问题提供了一种新的转化思路与方法,必将对有关问题的进一步探索起到推动作用。

关于丢番图方程(1023n)^(x)+(64n)^(y)=(1025n)^(z)

设a,b,c是两两互素的正整数且满足商高数条件,即当a,b,c为本原商高数时,方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).而现有的丢番图方程形式并没有将b的具体形式与初等数论紧密结合,利用奇偶分析法、简单同余理论、将b取为26并与初等数论相结合,还运用了分类讨论、反证法的思想,具体为先采用反证法进行假设,根据所化简的等式选取合适的模数进行推算得出与假设相悖的结论,即证明了:若n为正整数,当(a,b,c)=(1023,64,1025)时,丢番图方程(1023n)x+(64n)y=(1025n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),以此验证Jesmanowicz猜想成立,这个证明结果使Jesmanowicz猜想更加充实.

不定方程13x^(2)-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35的公解

Gel’fond-Baker方法是20世纪超越数论的重要成就之一,该方法在不定方程求解方面具有广泛应用。运用Gel’fond-Baker方法,证明了不定方程13x 2-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35仅有公共解(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1151)。这改进了之前的结果|x|<0.92×2418393,|y|<2418393,|z|<1.92×2418393。

Diophantine equations and Fermat's last theorem for multivariate(skew-)polynomials

Fermat’s Last Theorem is a famous theorem in number theory which is difficult to prove.However,it is known that the version of polynomials with one variable of Fermat’s Last Theorem over C can be proved very concisely.The aim of this paper is to study the similar problems about Fermat’s Last Theorem for multivariate(skew)-polynomials with any characteristic.

Lüroth展式中最大数字例外集的Hausdorff维数

对任意的x∈(0,1),记x的Lüroth展式为x=[d_(1)(x),d_(2)(x),⋯,d_(n)(x),⋯].记前n个数字中的最大数字为L_(n)(x)=max{d_(1)(x),⋯,d_(n)(x)},对任意实数0<α<β<∞,该文刻画了集合Fϕ(α,β)={x∈(0,1):lim infn→∞Ln(x)ϕ(n)=α,lim supn→∞Ln(x)ϕ(n)=β},的Hausdorff维数,其中ϕ(n)=n^(γ)(γ>0)或者e^(nγ)(γ>0).该结论补充了文献[13]的结果.类似地,该文还考虑了Lüroth展式中数字部分和的相应例外集的Hausdorff维数.

Sylvester级数展式中例外集的维数

在2018年,本文第一作者研究了实数的Sylvester级数展式中部分商的相对增长速度问题,并给出以一般函数速度增长的例外集的Hausdorff维数的下界.本文我们将进一步研究该集合,并精确刻画它的Hausdorff维数.同时作为应用,我们给出以多项式和指数速度增长时,相关例外集的维数结果.

Sylvester连分数展式中若干例外集的Hausdorff维数

对于任意实数x∈(0,1],记x=[d_(1),d_(2),···]为x的Sylvester连分数展式,令ψ(n)为N上的正函数,本文研究了集合A(ψ):■的Hausdorff维数.通过构造覆盖和合适的Cantor型子集,我们得到了该集合的精确维数为■同时,本文还考虑了Sylvester连分数展式的部分商满足■的极限是零或无穷时的集合的Hausdorff维数.

P-Frobenius问题与p-对称数值半群

针对p-Frobenius问题中出现的非对称性问题,利用数值半群理论以及Apery集等工具研究了p-Frobenius问题对应的p-对称数值半群。首先利用数值半群和Apery集等工具对p-Frobenius问题进行预处理,得到了对应数值半群和Apery集的各个变量;并将这些变量与对称数值半群和Frobenius问题进行对比,由此定义了p-对称数值半群,并给出了p-对称性的刻画。在此基础上,首先给出了两大类p-对称数值半群,其次研究了对称数值半群与p-对称数值半群的p化关联性。这两类p-对称数值半群给出了大量具体实例,而p化关联性则可用于处理p-Frobenius问题中出现的非对称问题。

一类(2+1)-维非线性波方程的精确解

该文通过不同的方法得到了(2+1)-维非线性波方程的不同类型的精确解。首先运用同宿测试法,得到了方程的呼吸解和孤立波解。运用三波法,得到了单、双呼吸解,然后通过参数极限法,将这两种解退化得到lump解。其次,在N-孤子解的基础上,分别添加不同的约束条件,得到了Q-呼吸解和Y-型孤子解。最后,在Y-型孤子解的基础上增加了约束条件,得到了呼吸解与Y-型孤子解组成的相互作用解。

G-clean环和强G-clean环

设G是单位包映射,如果环R中的每个元素都可表为一个G-幂等元与一个单位之和,则称R是G-clean环;特别地,若其中的G-幂等元与单位还可交换,则称R是强G-clean环。该文给出了G-clean环和强G-clean环的基本性质,并给出了当G保持有限直积时交换环成为G-clean环的一个充分必要条件。

不定方程 x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 的正整数解

丢番图方程的马少麟猜想与乘子为-1的阿贝尔差集有关。该文运用二次和四次丢番图方程的性质并结合Stormer定理,证明了:若a为正偶数,b,t,r为正整数,t≥r,则不定方程x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 +1的正整数解由t=r=1以及x+a√2^(b+2)(2^(b)-1)=(2^(b+1)-1+√2^(b+2)(2^(b)-1))n给出,其中n是正偶数。

椭圆曲线y^(2)=(x-6)(x^(2)+6x+m)的整数点

设p、q为奇素数,m为正整数,满足p≡5,13,45(mod 56),m=7p-72=2q+9,运用同余、勒让德符号的性质、二次剩余等初等数论的方法及二元四次丢番图方程的相关结果,研究了椭圆曲线y^(2)=(x-a)x^(2)+ax+m整数点的求解问题。证明了该椭圆曲线当a=6时仅有平凡整数点(x,y)=(6,0)。研究结果对该类椭圆曲线整数点的求解有一定的借鉴作用。

一类广义Kloosterman和的四次均值

利用解析方法、高斯和及特征和的性质,研究了一类广义Kloosterman和四次均值的计算问题,并给出了一个精确的计算公式。

Pell方程x^(2)-11y^(2)=1和y^(2)-Dz^(2)=9的公解

研究了Pell方程x^(2)-11y^(2)=1和y^(2)-Dz^(2)=9的公解问题,这里D为不含平方因子的偶数且至多包含4个奇素因子。利用递推序列、Pell方程及四次丢番图方程解的性质证明了方程当D=2×199时仅有公共正整数解x=3 970,y=1 197,z=60;当D取值为其他情形时仅有公解x=±10,y=±3,z=0。

切比雪夫映射族关联函数的指数型丢番图方程

切比雪夫映射族是一类典型的混沌映射,关联函数是研究其统计性质的关键.本文所研究的指数型丢番图方程源于该映射族的关联函数的计算问题.为求得该方程的解,本文首先对该方程进行简化,使简化后的方程具有严格单调递增的指数及非零系数.然后本文引入了“块”的概念,根据简化方程所含块的个数对其进行了分类,进而将原丢番图方程求解问题转化为由块所构成的丢番图方程的求解问题.本文最后研究了一个和两个块的情形,并举例说明了本文结果的应用.

椭圆曲线y^(2)=x(x-13)(x-29)的整数点

利用同余性质及初等数论的方法证明椭圆曲线y^(2)=x(x-13)(x-29)仅有整数点(x,y)=(0,0),(4,30),(13,0)和(29,0).

数论函数方程φ(ω(n))=2^(ω(n))q^(φ(n))的正整数求解

对于包含数论函数φ(n)与ω(n)的复合方程φ(ω(n))=2^(ω(n))q^(φ(n))的解,利用这两个函数的相关性质、算数基本定理及同余性质,采用分类讨论的思想得到了当q=5时该方程共有8个正整数解,当q=3时该方程共有44个偶数解。此方法可为一般类型的形如φ(φ(n))=2^(ω(n))■q_(i)^(ω(n))的方程的求解提供借鉴。

关于指数丢番图方程((mk_(1)+m_(1))^(n)-1)((mk_(2)+m_(2))^(n)-1)=x^(2)的求解

运用同余、二次剩余、勒让德符号、雅可比符号的性质、其他已知结论以及初等数论方法,研究了一类与平方数有关的指数丢番图方程的可解性问题.通过将方程的参数限定在一定的数量关系下,给出了方程在特定条件下不存在正整数解的三个充分条件,进一步推广了前人的研究成果,同时可为解决此类与平方数有关的指数丢番图方程提供了一定思路和方法.

指数丢番图方程(5^(m)-1)/4=(p^(n)-1)/(p-1)的正整数解

为验证Ratat与Goormaghtigh关于Goormaghtigh方程仅有2组正整数解这一猜想,运用Gel′fond-Baker方法研究了一类特殊Goormaghtigh方程的可解性。设p为满足p≡1(mod 4)的素数,5是模p的原根。证明了当p>108且Pell方程u2-(5/16)(p-1)(p-5)v^(2)=1的最小解(u_(1),v_(1))满足ln[u(1)+(1/4)v_(1)√5(p-1)(p-5)]<p^(1/4)时,指数丢番图方程(5^(m)-1)/4=(p^(n)-1)/(p-1)(m>n>2)没有正整数解(m,n)。

关于一类商高数的Jeśmanowicz猜想

设k,l,m1,m2是正整数,p,q是奇素数满足p^(k)=2^(m1)-a^(m2),q^(l)=2^(m1)+a^(m2),这里a≡3(mod8)或a≡5(mod8)为素数.利用因式分解、同余和柯召方法等基本方法,证明了指数丢番图方程(q^(2l)-p^(2k)/2 n)x+(p^(k)q^(l)n)y=(q^(2l)+p^(2k)/2 n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).证明了Jeśmanowicz猜想对商高数q^(2l)-p^(2k)2 n,p^(k)q^(l)n,q^(2l)+p^(2k)2 n成立,从而改进文献的工作,推广文献工作.