二重积分及其应用

本文首先定义了矩形区域上的二重积分,并使用平行于x轴和y轴的直线网将矩形区域划分。对于相关性质,给出了详细、完整的证明,证明了在矩形区域上定义的有界函数可积的充要条件是该函数在矩形区域上的不连续点集是零测集。假设函数在矩形区域上黎曼可积,成功地解决了固定变量x后,作为y的函数在相应闭区间上的黎曼积分未必存在的问题。其次,建立了有界函数在有界集上的积分,并将有界集上的积分转化为矩形区域上的积分。再次,介绍了二重积分的应用,证明了在开集上定义的二元函数的2个混合偏导数如果连续,则必然相等。最后,还使用二重积分证明了级数求和公式^(∞)∑=11/^(2)=π^(2)/6。

函数序列依Lebesgue测度收敛与度量意义下收敛的等价性研究

本文构造了一类新的完备度量空间,证明了其中的点列在度量意义下收敛等价于函数列依Lebesgue测度收敛,研究结果丰富了泛函分析理论中度量空间部分的内容。

平面截圆柱面截痕形状问题的探讨

本文探讨平面截圆柱面的截痕形状,旨在加强直观上对该问题的认知及运用.

Resurgence理论及其应用

本文综述了法国数学家Jeanécalle发展的复现理论及其在数学和物理中的若干重要应用。系统介绍简单复现函数的基本理论及其模运算,并提及更一般奇性的处理。给出该理论基本构造的同时,以欧拉级数、斯特林级数、艾里函数以及量子双对数函数作为基本例子来阐释这一理论的精妙之处。并提及其在量子力学(精密WKB理论、半经典迹公式)、规范场理论(特别是复陈-赛蒙斯理论)以及拓扑弦理论中的若干应用。

一类Kirchhoff型方程边值问题多重解的存在性研究

本文讨论了一类Kirchhoff型方程{-(a+b‖u‖^(2))Δu=bμu^(3)+f(x,u),x∈Ωu=0,x∈∂Ω多重解的存在性,其中:Ω⊂R^(N)是有界区域(N=1,2,3),a,b>0,μ∈R为参数,μ小于非线性特征值问题{-‖u‖^(2)Δu=μu^(3),x∈Ωu=0,x∈∂Ω{的主特征值,即μ<μ1,f∈C(Ω×R,R)在无穷远处满足次四次条件。利用临界点理论及Clark定理可以证明上述Kirchhoff型方程多重解的存在性。

思维进阶训练之收敛级数求和方法的研究

本文以几个经典的级数为例,从阐述训练思维进阶的角度研究一类收敛级数求和的方法,旨在展现不同的思维之分以及思维训练的重要.

一类含参数的交错巴塞尔级数的和

利用Fourier级数及其和函数给出了含参数的一类交错巴塞尔级数的和,作为应用得到了一系列的特殊级数的和,最后验证了含参数的交错巴塞尔级数的和即是交错巴塞尔级数的和的推广.

泰勒公式在高等数学解题中的使用技巧探析

高等数学是一门基础性强、难度高的学科,对学生学习能力有多方面、综合性的需求。具体地说,它是在特定的思维方式与解题技巧上,从多方面要求学生。在确保这两方面的前提下,学生还要将各类数学题的求解方法融会贯通,实现多个知识点的整合。文章对泰勒公式应用于高等数学不同教学内容的不同情况作了具体阐述。

数学分析的对数p-级数与对数p-积分

为了方便起见,将数项级数∑(lnn)^(k)/n^(p)称为对数p-级数,将反常积分∫_(c)^(+∞)(lnx)^(k)/x^(p) dx(c>1),∫_(a)^(b)[ln (x-a)]^(k)/(x-a)_(p)dx和∫_(a)^(b)[ln (b-x)]^(k)/(b-x)^(p)dx称为对数p-积分。对数p-级数与对数p-积分以不同的k和p的值出现在数学分析课程的各个知识环节中,收敛性随着具体参数k和p而不同,在数学分析和相关后续数学课程中有着很重要的地位。由于各类数学分析教材没有总结归纳出统一的判别其收敛性的公式化结论,导致对数p-级数与对数p-积分不能被学生熟练地掌握和使用。事实上,对数p-级数与对数p-积分的收敛性的判别完全可以公式化,根据k和p的值直接得出,这便弥补了数学分析课程在这些内容上的不足。

一类广义p级数的和

利用傅里叶级数理论和解析函数的唯一性定理求出一类广义p级数∑_(n=1)^(∞)1/(n^(2k)±a^(2k))^(m)的和.

关于两类幂级数系数的重排

该文研究了两类幂级数的系数重排后的增长性 。

关于λ-数乘收敛级数的不变性

本文证得(1)若λ具有弱滑脊性,那么λ-数乘收敛级数具有对偶不变性.(2)若λc00,那么λ-数乘收敛级数具有全程不变性的充要条件为(λ,β(λ,λβ))是AK-空间.

关于Taylor级数的正规增长性

该文分别对有限级和无穷级Taylor级数的正规增长条件进行了系统的研究，取得了一系列新的结果．

半平面上的随机Dirichiet级数

研究右半平面上的随机Dirichlet级数．为此需要给定一个系数条件，有的文章对此有专门研究．这里首先给出一个较宽的系数条件，并证明在一定意义上是最好的．通常随机级数研究的是同分布随机变量序列，这里通过推广Paley－Zygmund引理，把随机级数的研究引向一般得多的不要求同分布的情况．由于这些是研究随机级数的基础内容．因此应用该文的结论及方法，可以推广和改良一系列定理，并使得有关问题的研究变得方便简洁．

浅谈幂级数的和函数的求法及其应用

幂级数的和函数的求法是高等数学中的重点、难点内容.本文运用几个初等函数的展开式及相关知识,对幂级数的和函数的求法进行了讨论,给出了求幂级数的和函数的一般步骤,并介绍了利用幂级数求常数项级数的和的步骤.

Landau常数的逼近公式

对于所有的整数n≥0,Landau常数定义为Gn=nΣk=01/16k(2kk)2.该文建立了Landau常数新的逼近公式.

基于Taylor展开的无单元插值形函数及应用

在无单元伽辽金法的基础上 ,构造了基于 Taylor展开的具有过点插值的无单元形函数 ,它可以和有限元法一样处理边界条件 ,克服了传统的无单元伽辽金法遇到的瓶颈问题 ;对非凸边界的处理 ,提出了新的准则——弧弦准则 (arc- string criterion) .这样 ,可大大减少了无单元法的计算工作量 ,提高了边界处理的精度 。

关于两道级数题目的推广与思考

本文将两个级数题目进行推广,得到比这两个题目更一般的结论;此外,文章还说明了根本就不存在“最小”的发散级数,因此对于正项级数而言,没有最“精密”,只有更“精密”的敛散性判别法.

p级数的求和

通过积分转移、余项逼近的方法,建立起一系列p级数的求和公式,并给出了便于操作的误差估计方法.一改把级数余项当作误差来估计的传统做法,而是将余项作为和的重要组成部分进行分析,使得每增加一项计算量,精度能提升二个以上指数级,从而有效地解决了p级数的求和问题.

单位圆内随机Taylor级数的增长性

对十分一般的随机变量序列讨论了单位圆内的随机Taylor级数fω(z)的增长级 ,证明了fω(z)沿任一半径的增长级几乎必然 (a .s.)为 ρ .