圆锥曲线与三角形的“五心”问题分类导析

圆锥曲线与三角形的“五心”(重心、内心、外心、垂心、旁心)问题是一类极富思考性和挑战性,具有相当深度和难度的重要题型,频频出现在各级各类考试卷中,凸显出较好的区分和选拔功能,是考查学生学科素养和关键能力的极好素材.本文分类并配例加以剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.

巧用对称轴 速解三角题

在三角函数y=Asin (ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象中,其单调性在对称轴处发生转折,如果我们在解题中能巧妙利用对称轴,找到一些相等或不等关系,能使问题迎刃而解,达到速解目的.现举几例,供大家参考.

深挖广拓 解决问题——以一道2022年新高考相似题为例

文[1,2]全面深度剖析了2022年新高考卷Ⅱ第12题.它们解法多样,直指问题本质并进行了溯源、变式、拓展.笔者最近在《平面向量》这一章的教学中碰到一题,与之比较相似,故探析之.

巧解一道代数求值题

题目已知实数a,b,c,k满足k=2(a+1/a)=3(b+1/b)=4(c+1/c),且ab+bc+ca=1,求k的值.

一道不等式问题的多视角求解

题目(2023年全国高中数学联赛福建省预赛)若不等式1/√20a+23b+/√23a+20b≥λ/√a+b对所有的正数a,b都成立,求λ的最大值.此题考查了考生转化与化归、运算求解以及探究性思维能力,试题思维入口宽,解法丰富多样,可以采用先猜后证、利用基本不等式、构造函数等多种方法求解,是一道有显著特色的题目.

教学,多一些贴合——以“基本不等式证明”教学为例

教之道在于度,对于这个度,笔者给出了这样一种诠释:贴合就是度.教学,就是要多一些贴合,即贴合教材意图,贴合学生实际,贴合教学发展.近期,笔者作为评委参与了某市高中数学优质课评选活动,课题是《基本不等式的证明》(苏教版普通高中课程标准实验教科书必修5第三章《不等式》的第4讲第一课时),最后应邀就本课题上了一节示范课,现将这节课的教学过程实录如下,并就这三层贴合谈一些感受和体会,期与同仁们探讨.

一道高三调研试题的探究与推广

三角形问题表现形式丰富多彩,它集知识的交汇性和综合性于一体,其解题思路开阔,解法灵活多样,有助于发散思维,提升素养,深受命题者的青睐.本文以南京市、盐城市2023—2024学年度第一学期高三(数学)期末调研19题为例,展示三角问题的求解方法.

一道高考题的探究与推广

高考试题往往具有丰富的内涵和外延,数学教师要善于思考、发掘、研究高考试题,这对提高数学思维水平和解题能力都十分有益.笔者通过对2023年新高考卷(Ⅱ)解析几何试题研究发现,特殊中颇具有一般性,通过深入思考,得到几个一般性的结论.

高中数学概念课作业的分层设计——以“函数奇偶性”概念教学为例

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,数学学科的核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析等基本要素.核心素养的落地,不仅依靠教师在课堂上的精准切入,还需要教师在作业上巧妙设计,以实现知识的巩固融合.预习作业作为课前的铺垫,要引导学生带着问题进入课堂;课后作业作为课堂教学的延伸,是学生巩固课堂所学知识、反馈教学效果的重要手段;巩固复习作业可以很好的帮助学生整合单元所学知识,形成完备的知识体系.因此,教师应认真研究数学作业的价值和功能,结合课前、课后和复习阶段的实际需要,分层设计有针对性的作业,加深学生对知识的认知和理解,感受数学的魅力.

从“阿氏圆”到“阿氏球”

在许多问题中,经常遇到“隐圆”问题,若能快速捕捉挖掘题目隐含条件,则一些难题将自动迎刃而解.本文讲述最经典的一种“隐圆”:阿波罗尼斯圆(下文简称“阿氏圆”).然后从“阿氏圆”延伸到“阿氏球”,特别后者兼具了立体几何与解析几何,对学生的能力要求很高,很好地考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,近年很热.本文针对这个考点,予以剖析,供读者参考使用.

基于结构视域下的高中数学教材的深度理解

当下,大单元教学开展得如火如荼,但教研活动交流表明不少教师对大单元教学认识模糊,做不到对每节课都有大单元理念的渗透,充其量在一章开始时向学生介绍一下本章内容产生的背景、价值以及与其他章节的联系,之后在一节节具体的内容教学时也只能是就事论事了.

高中数学章起始课的教学实践与思考——以人教A版必修第二册《统计》为例

伴随着新课程改革的推进,一线教师越来越重视章起始课的教学.章起始课作为单元教学的序曲,统摄全章,有利于从整体视角高屋建瓴地认识全章的学习内容和方法,从而形成良好的认知结构.章起始课虽然内容往往不难,但却是全章的基石,如果处理不好,会对后续学习产生影响.本文以人教A版普通高中教科书必修第二册第九章《统计》为例,谈谈对于章起始课的教学思考.

绘圆解密激活学生数学解题的直觉思维

在数学教学中,教师要从学生的数学基础出发,尊重学生已有的学习经验,使得数学学习能真实、有效的发生.圆是初中阶段学习数学的一个重要章节,圆有着完美的对称性,因而存在着许多美妙的几何性质.其实高中阶段的许多数学知识,尽管表面上看似与圆无关,但是经过仔细分析之后,却可以转化为有关圆的模型,借助利用圆的一些性质,从而使问题得到解决.这种解题的数学方法,本质上也是一种构造思想.

从课本的一道习题谈起--趣谈基本不等式的无限加长

(苏教版必修1P70练习16)如图1,ABDC为梯形,其中AB=a,CD=b,设O为对角线的交点,GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线),KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段,EF表示平行于两底且过点O的线段,MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.

一题多解 探究推广 题目溯源--以一道模拟题为例谈解题教学

解析几何中的定点定值定线问题,以其呈现形式多样,理论背景深刻,解题思路灵活而深受命题人、解题人及其研究者喜欢.此类题目对培养学生逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力有突出价值.教学中此类题有注重罗列解法,忽视背景整合;注重机械刷题,忽视高考真题与教材等现象.本文以一个模拟题为例谈对这类题目的一题多解、探究推广、题目溯源,供参考.

构造两类概率模型解决相关不等式问题

虽然数学的各分支都有自己的研究方向和重心,但相互之间并不存在不可逾越的鸿沟.构造概率统计模型解决问题,是一种富有创造性的思维方式,它为我们解题提供了另一途径,不失为一种好方法,该方法对于培养学生思维的广阔性和创造性,具有重要的意义.

高中数学复习中大概念教学实践研究

1.问题提出在现行高中数学教学中,大多老师还是通过大量的练习来进行巩固记忆,以期获得学生的短期考试分数.但是从学生的长期发展来看,这样的教学往往导致不利后果产生.这样教学现状的出现,一方面是由于老师不重视教研,不愿意花时间研究课堂、教材及新课程标准,教学缺乏大概念;另一方面是因为过于追求高考的升学率,对学生的短期分数的要求过于急功近利.

例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

数据方差公式是统计中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题,若能根据特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,则思路清晰、明快简捷,常常会有出其不意的解题之效.

一道椭圆试题中的定值问题及推广

在一道高三联考椭圆面积题目进行解答过程中,笔者发现其定值结论,对定值结论进行更一般化的推广,并把结论进行推广到双曲线中.

一道市级联考题的解法探究与推广

近期笔者在解题教学时遇到一道市级联考题,考查了双曲线的几何性质,也考查了分析问题,解决问题的能力尤其是运算求解能力,本文现对其解法进行探究,并给出一般性的结论.题目(2022年南京市高二期中考试第22题)已知双曲线C:x^(2)/a^(2)-y^(2)/b^(2)=1(a>0,b>0)的离心率为√3.