GeoGebra视角下一类中点弦斜率和积关系的拓展

圆锥曲线的中点弦问题源于教材,兴于高考,向来是专家学者青睐有佳的命题阵地,如经典的中点弦轨迹问题,点差法问题,斜率和积与中点弦过定点问题等,既传承经典,又常考常新,富有典型代表性与示范引领性.基于此,笔者以一道市统考的解析几何试题为研究对象,通过探析试题的一般命制背景,在现代信息技术GeoGebra的引领下,进一步对试题背景升华总结,归纳出圆锥曲线中顶点三角形的一个优美通性结论,并以斜率和积定值问题为逻辑主线,浅尝些许备考必得,以期抛砖引玉,与同行交流.

对一道2023年高考中点弦问题的探究

本文对2023年高考数学全国乙卷理科第11题进行评析,并进行解法探究、拓展探究和源头探究,同时对高三圆锥曲线复习备考提出建议.

基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺研究

中低速磁浮常用10 m弦测值作为评价轨道几何不平顺的标准,但弦测法的幅频特性存在畸变,这种畸变现象在短波范围内更加严重,导致10 m弦测值会丢失很多短波信号,因此,10 m弦测值通常不能作为实际轨道不平顺应用于工程实践中。针对此问题,采用数值模拟方法对中点弦测法进行模拟,通过对比弦测值时频域的误差,验证“以小推大”算法的准确性,同时建立两种“以小推大”的逆推算法,以得到小弦长的弦测值,扩大弦测值对短波不平顺的有效检测范围,并采用“逆滤波”法对弦测值进行轨道不平顺的反演。研究结果表明:两种“以小推大”逆推算法都可以很好地推得小弦长的弦测值,并且可推得的最小弦长为2倍步长,因此,为扩大短波的测量范围,应尽量缩小采样步长;模型A由于边界条件的引入,总体误差较模型B稍大,同时会出现一些离群点,功率谱密度会出现阶跃信号,绝对误差在0.025 mm以内;模型B可以达到较高的精度,具有很好的传递特性,绝对误差可以控制在0.0015 mm以内;实测长沙磁浮快线F轨10 m弦测值用两种模型均可以很好地反演0.5~100 m波长范围的轨距不平顺。

基于中点弦测法的中低速磁浮轨道不平顺误差研究

中低速磁浮轨道10 m弦测值作为评价轨道几何平顺性的标准时,由于弦测值在幅频范围内存在畸变并受基准线选取的影响而产生较大误差。本文推导了弦测法“以小推大”的传递函数,进一步定义了“以小推大”及其逆推算法的误差放大系数;分析了弦长、矩阵维度对误差积累特性的影响,结合传递函数分析不同波长对误差的敏感性差异,并通过数值模拟进行验证。结果表明:“以小推大”算法及其逆推算法在传递函数为0的波长范围内误差积累较严重,轨道不平顺功率谱密度出现阶跃信号;随着矩阵维度的增加,“以小推大”逆推算法的误差快速积累,推得的小弦长越小则误差积累越小。应用“以小推大”算法时应减小大小弦长比值;对于“以小推大”逆推算法,要减小采样步长、可换算最小弦长以及矩阵维度。

基于中点弦测法的车载式车轮不圆度测量

列车车轮不圆度是影响列车运行平稳性的重要因素,目前静态检测设备均需抬轮的准备工作,极大降低了检测效率,接触式传感器测量易发生损耗,导致测量发生误差,为提高检测效率以及避免检测误差,采用中点弦测法结合逆滤波器实现对车轮不圆度的车载式测量。检测时列车以低速运行,通过激光位移传感器实现非接触式测量,并同时利用3个激光位移传感器的具体位置关系和测量值得到弦测值作为逆滤波器的输入,构造逆滤波器的频率响应函数使一定波长范围内的不圆度数据得到还原,最后再构造低通滤波器以及进行离散傅里叶变换该车轮各个阶次多边形磨耗的粗糙度等级。通过实验测量数据验证,采用中点弦测法测得的车轮不圆度数据与真实不圆度数值的误差较小,可以实现车轮不圆度数据的车载式测量,各个阶次的粗糙度等级也可反映被测车轮目前的磨损状态。

巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题

“点差法”是圆锥曲线中一类非常重要的方法,代点作差,模式化强,计算量少,能很好地优化解题过程.高中阶段用“点差法”来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解,且能更好地理解数学的本质,欣赏到数学之美.

基于中点弦测法的轨道不平顺精确值数学模型研究

弦测法是测量轨道不平顺的一种基本方法,原理简单,使用方便,高效迅捷。传统观点是直接将弦测值作为轨道不平顺的近似描述,这会不可避免地因基准线变动而产生较大误差。针对该问题建立了一个描述中点弦测法本质的数学模型,分析了轨道不平顺与其弦测值之间的关系,构造了一种计算轨道不平顺精确值的迭代算法与快速算法,并采用数值仿真对弦测过程进行模拟。结果显示:迭代算法总体误差较小,传递函数较好,但由于迭代次数等原因会产生端点误差;快速算法以牺牲计算内存为代价能达到较高精度,绝对误差在1μm以内,传递函数效果极好,从而证明了所建立的数学模型的正确性与计算结果的精确性。

基于中点弦测模型的钢轨波磨量值估计

针对中点弦测模型无法复原轨道不平顺量值的问题,在分析钢轨波磨及对应的弦测数据后发现两者均具有周期性,在此基础上提出了一种多弦测量并计算钢轨波磨量值的方法。通过采用不同弦长对同一轨道的测量,避免单一中点弦测法中特殊波长幅值增益为零的问题;利用小波变换多分辨率的特点获取了波磨的频率及出现位置,将其应用于轨道波磨量值测算。结果表明,该方法能够从轨道中点弦测数据中发现钢轨波磨,并通过计算复原其原始量值,适合工程中对钢轨波磨的快速检测估计。

基于中点弦测模型的无砟轨道精调量迭代求解

为避免无砟轨道精调对外部几何参数测量的过度依赖,提出了一种基于轨道不平顺的精调量计算方法.该方法通过对轨道检查仪的惯性轨迹建立轨道不平顺的向量模型,构造了以恢复平顺性为目标的无砟轨道精调量的逐次超松弛迭代算法,并分析了算法的收敛性和收敛速度.提出的方法已在某高速铁路精调作业中规模试用,并通过动态检查验证了方法的有效性.研究表明:该方法具有收敛性,对轨道惯性轨迹进行有限次迭代即可获得满足平顺性要求的精调量;动态检查结果轨道质量指数为2.26,与绝对测量作业效果相当.

基于中点弦测法的矢距计算通式及其特性研究

研究目的:关于高铁无砟轨道的轨向、高低,目前存在两类评价方法,即中点矢距法及矢距差法。中点矢距法广泛应用于轨道检测,而矢距差校核由于采用绝对测量方式计算,故限制了其应用。本文从两类方法的数学模型出发,分析两类方法的异同,以便为无砟轨道的平顺性评价提供理论依据。研究结论:(1)本文首先采用渐开线方法,建立了基于短弦中点弦测法的轨道矢距计算通式。计算机仿真验证了计算通式的准确性;(2)通过对两类方法的频域特性及误差特性的分析,认为在相同弦长条件下,相对于矢距差方法,中点矢距法具有相频无畸变、不平顺信息丰富、利于病害定位、利于动态性能评价等特点,且通过扩展算法可有效提取长波信息;(3)本文提出的轨道矢距计算通式,为无砟轨道的矢距差的快速校核提供了可能。

二次曲线中点弦存在性定理的证明

二次曲线中点弦存在性问题的探讨,对二次曲线的研究有着及其重要的意义。文章利用射影几何方法及配极原理给出二次曲线中点弦存在性定理的证明。

曲线中点弦所在的直线方程

曲线弦中点所在的直线方程的问题是各类考试的重点和热点，故值得我们总结与研究，为此，本文介绍它的一种求解方法，供参考．

对双曲线中点弦问题的深入思考

直线和双曲线相交并给出所得弦的中点，这时运用点差法求解便可得到弦的方程．然而点差法在解决双曲线中点弦问题时有其局限性，借助点差法求出的直线方程往往需要检验．有没有可以避免检验的方法呢？答案是肯定的．由点差法可知，中点的坐标决定了弦的斜率，进而决定了弦的方程，因此中点弦是否存在与中点的位置密切相关．那么它们之间究竟有怎样的关系？带着这一问题，笔者作了一些深入的思考．

从一道高考题看直线与曲线中点弦问题

题目：（2014年江西卷第15题）过点M（1，1）作斜率为-1/2的直线与椭圆小x2/a2＋y2/b2=1相交与A，B两点。若M是线段AB的中点，则椭圆的离心率等于______。

点差法与向量联手简解中点弦问题

中点弦问题是直线与圆锥曲线的重要题型，也是高考的热点问题．在解答中点弦问题中的一个比较理想的方法是，点差法与直线斜率联合解题．它比用根与系数的关系和直线斜率联合解题，具有“设而不求”减少运算量的功效．但美中不足的是，有时需要对斜率的存在性进行分类讨论，

对一道课本复习题的思考——谈二次曲线的中点弦问题

高中新课标教材苏教版选修1—1第51页复习题19：“已知双曲线x2-y2/2=1，过点P（1，1）能否作一直线l与双曲线交于A，B两点，使P为线段AB的中点．”其解法的基本思路是将探索直线l的存在性转化为它的基本量——直线斜率k的存在性，进一步转化成一元二次方程是否有相异实数根问题．

关于中点弦问题的一题多解与多题一解探究——基于教材对近年全国Ⅱ卷的对比研究

通过对新人教A版选修2-1一道习题的思考,提出解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的九种解法,有利于发散学生思维,激发学生学习数学与研究数学问题的兴趣.对近年全国Ⅱ卷中的中点弦试题,用解法9进行解答,减少篇幅且更加简洁易懂.

二次曲线中点弦理论的简化和推广

对一般常态二次曲线Г：F（x,y）=a11x^2＋2a12xy＋a22y^2＋2a23x＋2a13y＋a33=0 （1）有关中点弦和弦中点的研究文章很多，如[1]、[2]，但论证过程太长，事实上相关的结论都可以非常简便地加以证明，从而篇幅可大为减少，为使这一理论更严谨，使论证简捷明快，特阐述如下：

圆锥曲线中点弦的方程及应用

对于圆锥曲线，我们可归纳出如下结论： 方程①、②、③形式优美，记忆方便，应用它可简捷地处理一类与圆锥曲线中点弦有关的问题．

圆锥曲线中点弦轨迹与原曲线“相似性”探究

圆锥曲线教学中发现不少学生疲于做题却难做到对问题深入理解,遇到复杂情境易重新陷入困境.发散性探究,可帮助学生形成自主探究的能力,由教师“牵着走”走向“独立走”,切实提升学生的数学学科核心素养.