千古绝技:中国古代几何中的“割圆术”

刘徽在《九章算术注》中最早提出“割圆术”,将圆周率的研究从经验算法推到科学的几何方法,之后数学家利用刘徽的几何算法计算出了更为精确的圆周率近似值.割圆术在生活中有诸多应用,极限思想贯穿其中.近年来,各地中考与高考数学不断出现与割圆术相关的考题,其已成为提升学生数学核心素养的重要数学素材.

基于割圆术的DV-Hop全局优化WSNs节点定位算法改进研究

为提升DV-Hop(distance vector-hop)算法定位精度水平,提出一种基于割圆术的DV-Hop全局优化(circle-cutting technique for global optimization of DV-Hop algorithm,CTGO-DV-Hop)算法。该算法精确了最小跳数,引入权值模型对全部锚节点的平均单跳距离进行优化,并采用加权最小二乘递推算法对未知节点坐标进行拟合。实验测试多种因素对于算法的影响,结果表明,所提出的CTGO-DV-Hop算法表现出良好的性能,相较于DV-Hop、OCSLC-DV-Hop和WOCS-DV-Hop,平均定位误差的最大降幅为70%左右,适用于构建节点数目大、锚节点比例低的无线传感器网络系统。

基于刘徽“割圆术”的向心加速度推导

圆周运动向心加速度表达式的推导是高中物理教学中的重点和难点。从台球运动中受到启发,基于刘徽“割圆术”来推导向心加速度表达式。引导学生通过逐渐增加圆内接正多边形边数的折线运动逐渐逼近圆周运动,依此来推导向心加速度,开阔学生视野,培养学生核心素养。

17～19世纪法国数学家的圆周率初等研究与刘徽的割圆术

17～19世纪法国数学家发展了圆周率的古典计算方法.给出了等周法、等积法、圆周法、面积法,4种方法无一例外地从两边逼近圆周率.从中未能获得圆周率的加速方法;而刘徽利用了只从一侧逼近的割圆术获得了超越时代的加速方法.因此割圆术更具优越性.另一方面,利用法国数学家的结果.可以简易地给出刘徽加速方法的证明.本文研究的目的是证明这样一个事实:中西数学的交流是互惠互利的.

《授时历》中的招差法和弧矢割圆术研究

研究了《授时历》中的招差法和弧矢割圆术的构建原理。结果表明 ,前者即现在的三次内插法 ,古代是从一些实测数据出发 ,利用代数方法构造一个确定天体在每一时段所处位置的算法 ,并用表格和公式的形式表示出来 ;后者是中国历法计算中首次使用的球面几何方法 ,系应用古代的勾股算术和沈括的“会圆术”并结合高次方程来解决天文测量问题。通过中外比较认为 ,牛顿内插法晚于中国招差法近 40 0年 。

关孝和对《授时历》中弧矢割圆术的研究

目的 廓清关孝和对《授时历》中求黄赤道差、黄赤内外差的几何算法的基本线索。方法 历史分析和文献考证。结果 详细分析了关孝和对《授时历》中"论黄赤道差"、"论黄赤内外差"和"论白道与黄赤道差"前两条的解释和图说。另外,关孝和根据传入日本的《天文大成管窥辑要》的原文顺利解决了第3条中的白道交周问题。结论 认为由于原文过于简单,所以关孝和的工作具有创造性。关孝和在17世纪前的日本是绝无仅有地完全弄懂了《管窥辑要》的一位学者。

数学史与数学教育(HPM)的一个案例——刘徽的“割圆术”与微积分

刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式.很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意.刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设.通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM的方法来辅助解决极限概念教学的难题.

《授时历》中的弧矢割圆术再探

对于《元史.历志》和《明史.历志》中有关《授时历》球面坐标变换的内容进行补漏、校核;进一步探讨《授时历》中球面坐标变换特别是弧矢割圆术的一些重要法则和方法;结合现代三角学计算结果,得到结论:托勒玫《至大论》与弧矢割圆术中的黄赤道坐标变换的精度相差不大;弧矢割圆术关于弧、弦、矢之间的计算是在一个单位系里进行的,与托勒玫和现代三角学的方法都不一样;古率3是会圆术这个统一的单位系里独特的比率,而不是圆周率。在这个条件下,会圆术与现代三角学的结果十分近似,体现为除了在一些特殊点二者完全相等外,会圆术中的两个变量表达式也如正弦和余弦函数一样有整齐的对称性。

从刘徽的割圆术谈起

所谓微积分的基本思想.就是人类的基本认知规律"用‘已知’解决‘未知’"在解决变量数学时的具体体现;用微积分的思想来指导微积分的教学,能使学生站在一个高的层次,高瞻远瞩的看问题.因此,学点"思想"甚至比多学点知识都更为重要.但是,要使广大教师能在教学中揭示、介绍学科的"思想",就必须将其融入到教材之中.

“割圆术”在高等数学教学设计中的体现

研究"割圆术"思想在高等数学教学中的教学设计,讨论基于"割圆术"思想在教学中设置疑问与思考的方法,并将"割圆术"作为重要极限的应用,推导出"割圆术"中的圆面积公式.

割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测

介绍了割圆术确定周周率的原理和困难所在,给出了提高圆周率精度的算法,并对已失传的祖冲之确定圆周率和密率的方法进行了合理推测。

关于刘徽的割圆术

割圆术是刘徽圆田术注的核心内容,其主旨在于证明《九章算术》中的圆面积公式.刘徽所采用的极限过程是为进行无穷小分割并最后证明圆面积公式做准备的,并不是为了求圆周率.求圆周率是用不到极限过程的,它只是极限思想在近似计算中的应用.对刘徽求圆周率程序的错误理解,会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误之中.

基于刘徽割圆术的等距线逼近算法

给出了一种基于刘徽割圆术的平面NURBS曲线的等距线的逼近算法.利用正多边形代替圆所扫掠出的区域边界来近似等距曲线,所得到的逼近曲线是与基曲线同次的NURBS曲线,并且可以达到任意的精度.

割圆术与穷竭法

阐述了中国古代“割圆术”与古希腊“穷竭法”的联系与差异 .“割圆术”包含近代极限思想 ,其过程是一个无限过程 ,可以创造崭新结果 ;而“穷竭法”适用范围更广 ,是一个有限过程 。

刘徽与“割圆术”

本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法——用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发性,并由此对中国古代数学的特点作了简要叙述。

关于刘徽的割圆术

分析了刘徽割圆术的思想和算法，指出其创造性和局限性，给刘徽割圆术以恰当的历史地位。

在“拓展型知识”教学中发挥数学文化功能——以“割圆术”教学为例

高中数学新教材中设有“章头图与引言”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术运用”、“实习作业”和“旁注”等内容，笔者在此把其所涉知识称为“拓展型知识”．这些“拓展型知识”不但可以充分体现新教材的现代数学教育价值观，若运用适当，还可以充分调动学生已有的知识结构，拓展知识视野，增强对社会的责任感和使命感，增进与自然的情感交流．而数学是人类文化的重要组成部分，不同的民族有不同的数学传统．鉴于以上原因，笔者依据高中教学中“拓展型知识”这一平台，在发挥数学文化功能的课堂教学方面进行了学习和案例研究．下文将展开阐述，以供研讨．

以“割圆术”为例刍议数学选修课教学

2013年浙江省高中数学优质课评比别出心裁，全部课题选自于教材中的“阅读与思考”栏目，执教教师向我们展示了一堂堂精彩的选修课程教学，为我们数学选修课程的开发与开设提供了很好的范例。下面笔者以“割圆术”为例谈谈数学选修课程的教学。

Richardson外推法与割圆术

将我国古代伟大的数学家刘徽提出的"割圆术"与Richardson外推法相结合,利用正弦三角函数求π的值,可以在确保计算精度的前提下,大大减少计算工作量.

用VISUAL BASIC编程演示“割圆术”的实现过程

利用VisualBasic编制了一个关于古代极限———割圆术的程序,在实际操作中能产生动画般的效果,从而使学生对极限这个重要的数学概念有形象而生动的理解。