圆锥曲线“弦心距”的性质

“采荚撷萃”是上旬刊新推出的一个栏目，它将对一些来稿中的闪光点由编者摘编后予以发表，它追求的是文短、意新、信息量大，希望能对读者的教学和治学工作带来益处．我们请大家关注这一栏目，并帮助我们办好这一栏目．

利用“弦心距”求有心圆锥曲线的弦长

圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线相交所得的弦长通常采用公式/AB/=√1＋k＾2/x1-x2/=√1＋k^2/√△/a/进行计算，一般其运算过程较为复杂，但当该圆锥曲线是圆时，若采用公式/AB/=2√R^2-d^2（其中R为圆的半径，d为圆心到直线（即弦）的距离）进行计算，则其运算过程大为简化．

四用弦心距

1.求半径例1如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，CD＝10cm，AP：PB=1：5，求⊙O的半径。分析由CD⊥AB于P可知，OP是弦CD的弦心距。连接半径OC，构造直角三角形POC，在Rt△POC中，利用勾股定理构造方程就可求出半径的长。

谈“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”

“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”是“圆的有关性质”中的一节重要内容，它是在圆的旋转不变性的基础上提出的．该节内容为两课时，对于第一课时，有两点值得思考．现总结如下，供同学们学习参考。

用好弦心距 巧解圆问题

一个好的问题不仅具有良好的思维训练价值，而且有一定的数学背景和美感，如果多加留心的话，还可以推广、引申或者改编成相关问题，下面试举一例，供参考．

巧用弦心距 妙解一类题

圆是初中数学几何中的重要内容,其中运用勾股定理、相似三角形或三角函数等知识解决有关圆的综合计算问题,是各地中考的热点.下面以一道几何题得到的结论来说明,利用弦心距可以破解一类圆的计算问题.

“巧”用弦心距 “妙”解一类题

圆是初中数学几何部分的重要内容,其中运用勾股定理、相似三角形或三角函数等知识解决有关圆的综合计算问题是各地中考数学考查的的热点,题型复杂多变,其中利用弦心距可以破解一类圆的计算问题.一、引例与结论引例如图1,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且AD平分∠CAB,作DE⊥AB于E.,求证：OE=1/2AC.分析由所证的结论OE=1/2AC联想到垂径定理,需作弦AC的弦心距OF,得到AF=1/2AC.

利用“弦心三角形”巧解与圆相关问题

圆的弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,简称＂弦心三角形＂. 近几年高考题中与圆相关的考题频频出现,很多学生处理此类问题时依然套用解决圆锥曲线的思路,使问题复杂化,而且导致运算量很大.为了引导学生回避＂小题大做＂.在平时教学中应该向学生灌输＂圆＂与其他圆锥曲线的整体处理思路和方法是大不相同的.相对来讲,尽管其他圆锥曲线运算量大,但其方法反而比较固定,而圆主要依靠“弦心三角形”利用“数形结合”思想处理的较多，以下赏析几道利用“弦心三角形”化繁为简的事例．

大攻角翼面弦向压心位置的确定

本文提出用试验数据库加上理论修正的方法计算单独翼面弦向压心的位置。它适用于任何平面形状的翼面,有厚度翼型,翼面的最小展弦比可以达到0.5左右,翼剖面基本为菱形或修正菱形,翼面攻角可以达到60°,翼面来流马赫数 M 为1.5～4.5。用该方法对几种试验翼面进行了理论计算,其弦向压心位置的精度在根弦的1～2%以内。

关联呼应:源自理解数学和苦心经营——对“垂径定理”教学的再设计

一、写在前面 最近参与某区一次大型教学研讨活动（参与听课的来自该地区所有初三数学教师,200多人）,其间开设了一节初三＂垂径定理＂的公开课,活动流程清晰,学生思维活动量较大,教师＂基本功＂（传统意义上的＂三字一话＂）扎实,课后是应景式的、标签式的、客套式的赏析评课,一节优秀课就这样被定义了,似乎各自回到教学岗位后,以后的新授课就可以这样上了。

垂直于弦的直径

垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四章第二节的教学内容,简称为垂径定理,它是在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的.垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性质,利用垂径定理可以简化线段的计算、线段相等的证明以及弧相等的证明,等等.

与圆的弦有关的几个问题

直线与圆是高中数学的重要知识点,也是高考的热点。直线与圆相交,有两个公共点,设弦长为L,弦心距为d,半径为r,则(L/2)^2+d^2=r^2,从而可将问题转化为"点线距离"问题。下面举例阐述与圆的弦有关的几个问题。

以问题为核心上好初中几何复习课

问题是思维的核心,精心设计一个好的问题,运用恰当的方法,能引领学生轻松愉快地串连相关知识点、串联形异质同的问题,解决复杂的相关问题和生活中的实际问题,如复习“圆的有关性质”时,可以运用如下方法。

椭圆“弦心直角三角形”的优美性质

从研究一道以椭圆“弦心直角三角形”为背景的试题的解法出发,探究椭圆“弦心直角三角形”的优美性质,并把性质应用于解题。

初中数学微课程的设计与应用研究——以《圆周角定理》为例(续)

（见2015年第6期（下）第8页）微课程标题：圆周角定理课程类型：新授课学习活动：微课教学：1.问题引入：介绍∠AOB是圆心角,∠ACB不是圆心角,称为圆周角.提问：什么是圆周角？2.直接给出圆周角概念设计意图：微课程的教学导入力求快速,切入主题.由于学生已经学习了圆心角,并知道圆心角的相关性质，故开门见山，直接导入问题，引出主题．突出微课的“短小”，避免冗长繁复的引入。

配对选择题的编造

配对选择题是一种特殊的选择题,其基本模式是几个问题共用一组答案,备选答案放在问题的前面,问题与备选答案的数目可不相等,每项答案可选用一次,也可重复选用多次,或一次也不选用,但每个问题只允许选一个答案。【例】如图1,已知△ABC中AB=AC,EF过点A,且EF∥BC,D为EF上任一点(不和A重合),试用备选答案来比较每组中两者的大小关系: (A)x比y大;(B)x比y小;(C)x与y相等;(D)x与y的大小关系要分清情况讨论。

破解直线与圆中“定”的问题

直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容,是高考必考考点之一,考题中往往涉及定点、定直线、定圆等'定'的问题,其本质就是曲线系,蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中,同学们常常找不到解题的切入点。为此,我们需弄清此类问题的实质,切实掌握其解决方法。一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生,如y=kx是过定点O(0,0)的直线系,y=kx+b(b是常数)

例谈圆中相等线段的证明

在圆的知识中,证明相等比比皆是,尤其是证明线段的相等,方法种类繁多,而且很复杂,现在我们进行归纳整理一、利用全等三角形的对应边相等证明所求证的线段所在的三角形全等在几何的学习中,利用证明三角形全等来证明线段相等是一种很好的方法,而且掌握起来较为容易.在圆中,这一点也比较好用.

观察在解题中的作用例说

人对事物的认识是从感性到理性,观察是获得感性认识的途径之一,所以培养观察能力是中学数学教学目的要求之一。在教学过程中离不开对事物的观察。

对一道期中试题的多视角求解

从不同视角给出一道期中考试题的多种求解方法：直接计算长度,运用弦心距、圆的参数方程、直线的参数方程等手段解题;通过轨迹方程,借助圆求范围.