"一类数列通项求解"的深度教学策略

在深度教学思想引领下,对一类已知递推公式求解通项公式的本源进行探究.通过对等差数列、等比数列通项公式推导过程的学习,进一步理解累加法和累乘法的本质;把等差数列、等比数列递推公式中的常量换为变量来展示知识的迁移能力.通过递推关系的触类旁通、由浅入深,实现对数列问题的本质认识和思维的飞跃,从而达到从知识到能力的转化,提升学生的数学核心素养.

借助常数列,求解数列通项公式

在对数列知识的考查中,数列通项公式是其中的必考知识点,同时也是难点.在数列问题中,常数列是最为简单的数列,因此在解答数列通项公式问题中,可以通过构造常数列降低解题难度.为帮助学生掌握常数列的构造方法,本文结合实际问题进行分析,以期提高学生对知识的掌握程度.

巧用“同构法”求数列的通项公式

“同构法”不但可以求解有关导数、不等式、方程和解析几何等问题,同样地,它在数列问题中也有着广泛的应用.用“同构法”解决数列问题时,通常需要构造辅助数列,然而,当递推公式比较复杂时,如何构造关于an+1和an的同构式,是值得探究的问题.下面笔者举例介绍运用“同构法”求数列通项公式的十种常见策略,以期对读者复习有所帮助.

一道课本习题的推广——兼谈Fibonacci倒数列

先从三种不同的视角来证明一道课本习题,然后结合Fibonacci倒数列的性质给出习题的推广,最后给出Fibonacci倒数列的一个恒等式与两个推论.

夯实基础·突出综合·关注应用·适度创新——2024年高考数学之数列命题方向预测

我们对近几年新高考(2020-2023)数学试题(主要是全国卷,但不拘泥于全国卷)中的有关数列的试题归纳分析以后,发现这几年高考数学卷中的数列部分试题考查重点如下页表。从表中我们可以发现,新高考数学考查的“四翼”要求(基础性、综合性、应用性、创新性)在数列这部分主要表现为:考查基础性主要围绕等差数列的基本量(a_1,d)或等比数列的基本量(a_1,q)展开,某些特殊情况下,也可能只有一个已知条件,从而不能将相应的等差或等比数列完全确定。

差比复合型数列的六种解法及其应用

差比型复合数列的求和问题是高中数学中数列内容的一个重点,也是学生容易丢分的题型.文章先从不同的视角给出差比复合型数列的六种求和方法,然后结合高考题,谈谈这些方法在高考题中的应用.

例谈放缩法证明一类数列不等式的策略

数列不等式是近年高考中的一类热点题型,本文主要研究一类不可求和型的数列不等式,即Σ_(k=1)^(n)a_(k)≤m,其中数列{a_(n)}不可求和.求解这类数列不等式,常用的方法是放缩法,即需要构造一个可求和数列{b_(n)},使得a_(n)≤b_(n),且Σ_(k=1)^(n)b_(k)≤m.放缩法技巧性极强,而且放缩法的关键是如何巧妙构造数列{b_(n)},也就是放缩法中所说的“度”,如果“度”把握不好,就不能得到要证明的不等式,这给学生解决此类问题带来极大的困惑.基于此,本文对该类型问题进行分类和总结,得到六种常见的数列求和放缩模型,让学生感到这类数列不等式也是有法可依、有章可循的.

在探究中不断提升解题能力——关于四类数列通项的求解

数列章节主要学习了两类特殊的数列:等差数列和等比数列.在教材中等差数列和等比数列的通项公式推导均采用了归纳推理法,这有利于培养学生的观察能力、归纳能力以及探究、创新精神,但不能做为严格的证明推理过程.基于此,现给出如下严格的证明,旨在启迪思维.

关于自然数数列一个性质的探究

数列是重要的离散模型,在数学学习中占有重要的地位.而等差、等比数列是研究其它数列的基础,其中的自然数数列又是基础中的基础,它有一系列良好的性质.本文就自然数数列一个特殊的性质进行探究:即对自然数数列而言,前n项和S_(n)也是数列中的项.就这一性质思考:还有没有其它的等差数列也满足这个性质?如果要满足此性质,其首项和公差需要满足怎样的条件?

深度解读教材 发展专业素养——以“数列的通项公式”为例

常数列是一类特殊的数列,当数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n时,则称数列{a_n}为常数列,此时通项公式a_n=a_1,很简便.很多场合下,利用待定系数法构造常数列,可以迅速求出数列的通项公式,而这是从深度解读教材中得到的.一、教材深度解读,构造常数列1.对等差数列与等比数列对等差数列{a_n}而言,因a_n=a_1+(n-1)d,变形有a_n-n_d=a_1-d,这样{a_n-nd}是一个常数列.即等差数列的问题可以化归为常数列的问题.

利用待定系数法巧求递推数列的通项公式

求递推数列的通项公式,是数列问题的一个重点与难点,求递推数列通项公式的一般方法是用代数恒等变形的方法,将递推关系化归为一个等差关系或一个等比关系,用等差数列或等比数列的通项公式求通项.在求递推数列通项公式的过程中,如果递推关系化为等差关系或等比关系这一过程用待定系数法变形,这样的方法效果更加明显,针对性更强,可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍之效,下面介绍如下:1.求a_(n+1)=pa_(n)+f(n)型递推数列的通项公式例1已知a,=1,a_(n+1)=2a_(n)+3^(n)+1(n∈N^(*)),求a_(n).

聚焦高考中数列的经典题型

数列在高中数学中是一个比较独立的模块,在高考中占据一定的比例。在近几年的高考中,数列问题常常以一道解答题或两道小题(选择或填空)的方式进行考查。数列解答题多以等差数列或等比数列为载体,考查数列的通项、前n项和、求最值、证明等差或等比数列、证明不等式、求参数的取值范围等。下面结合最新模拟试题介绍数列解答题的几种题型,供大家参考。

数列求和的常用方法

数列求和是数列部分的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现。在熟练掌握等差数列和等比数列的求和方法的基础上,对于一般数列的求和,主要有两种思想:(1)转化思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成;(2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和。

证明不等式之数列放缩的分析

数列中一些基本知识点(如等差数列、等比数列的概念、性质以及前n项和等)经过多次练习,大部分学生能基本掌握,但是利用放缩法证明数列中的不等式技巧性比较强,很多学生找不到其中的“套路”.数列与不等式的结合一般有两种类型:一种是利用基本不等式求数列的最值;另一种是与求和相结合,证明不等式或求参数的取值范围,一般需要借助数列通项的特征,先求和再放缩或先放缩再求和证明不等式。

循环小数化为分数教学中等比数列的应用

纯循环小数与混循环小数是初等数论中常讲解的内容,但怎样把此两类小数化为分数却没有讲解,通过利用中学的等比数列把纯循环小数和混循环小数化为分数,并给出了纯循环小数和混循环小数化为分数的计算公式。为中小学数学教师教学中,把循环小数化为分数提供了一个有力的计算公式。

丢番图逼近与三角数列的极限

利用丢番图逼近理论中的无理测度方法得到了三角数列的一些极限公式,并给出了其在幂级数中的一些应用.

新时代高等数学“金课”建设新思路设计与研究——以数列极限概念为例

随着科技的发展、时代的进步,偏向于理论推导的“高等数学”课程传统教学模式已无法满足这个时代社会对人才的需求,而“金课”是知识、能力和素养的融合,不仅让学生获得知识、掌握技能,更重要的是培养其创造性思维和解决复杂问题的综合能力。本文将开展基于“金课”的“高等数学”教学研究工作,为进一步构建本科数学类金课课程提供积极探索,并以数列极限概念为例阐释其在高等数学“金课”探索中的应用。

一个涉及等差数列平方根不等式的加强

应用构造求和相消与待定系数法,建立关于等差数列{a_(k)}各项平方根倒数之和Σ_(k=m)^(n)1/√a_(k)的上、下限估计,加强了涉及等差数列的若干已有结论.

突出知识结构 引领单元教学——以“数列”单元起始课教学为例

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在实施建议中强调:整体把握教学内容,促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展.单元起始课作为单元教学的开篇,对激活新知与旧知的内在联系,构建单元知识框架,形成逻辑体系,以及提升学习的主动性和前瞻性,具有至关重要的作用.

用生成函数求几类数列的通项公式

高中数学数列通项公式不仅是高考考查的重点和热点,还是高等数学的重要基础.利用高中数学数列通项公式的求解技巧,可以有效培养学生的数学思想和数学学科素养.文章介绍了生成函数,并利用生成函数来求解几类有难度的数列的通项公式.