广义Erdös-Straus猜想的互异正整数解的存在性

本文研究当n>k≥2且t≥2时方程k/n=1/x_(1)+1/x_(2)+…+1/x_(t)的互异正整数解,证明若方程有正整数解,则至少有一互异正整数解;当k=5,t=3时,除了n≡1,5041,6301,8821,13861,15121(mod 16380)外方程有一互异正整数解;当n≥3,t=4时,除了n≡1,81901(mod 163800)外方程有一互异正整数解;并进一步指出对于任意的n(>k),当t≥k≥2时,方程至少有一互异正整数解.

不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的整数解

给出不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的一种参数求解方法,以及该不定方程的一种拆分求解方法.

三次Diophantine方程x^(3)+1=pQy^(2)的整数解

利用同余式、Legendre符号、递归数列、Pell方程解的性质以及一些初等数论方法得到以下结论:当p、Q分别为6k+1和6k-1型奇素数或p、Q为2个互不相同的6k+1型奇素数时,丢番图方程x^(3)+1=pQy^(2)仅有整数解(x,y)=(-1,0).

丢番图方程x^(3)+1=603y^(2)的整数解

设D含有6k+1型的素因子,其中k是正整数,关于丢番图方程x^(3)+1=Dy^(2)(D>0)的求解一直是数论中未彻底解决的问题之一.利用同余式、递归序列、因式分解法以及Pell方程解的性质及初等数论方法,并结合分类讨论的数学思想,研究了丢番图方程x^(3)+1=603y^(2)在不同情形下的整数解问题,得到了当D=603时,该丢番图方程有且仅有平凡整数解(x,y)=(-1,0),此结论对这一类方程的研究具有一定的借鉴作用.

与Euler函数有关的一个五元不定方程的正整数解

对于任意正整数n,数论函数φ(n)为Euler函数.该文讨论了与Euler函数有关的一个五元不定方程φ(x_(1)x_(2)x_(3)x_(4)x 5)=3φ(x_(1))φ(x_(2))φ(x_(3))+4φ(x_(4))φ(x 5)的正整数解,利用Euler函数φ(n)的相关性质以及初等方法,得到了这一方程共有501组正整数解,并给出了满足x_(1)≤x_(2)≤x_(3)与x_(4)≤x 5的61组正整数解.

数论函数方程kφ(n)=11φ_(2)(n)+S(SL(n^(37)))的正整数解

利用Euler函数φ(n)、广义Euler函数φ_(2)(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质,并结合初等数论的方法,讨论了数论函数方程kφ(n)=11φ_(2)(n)+S(SL(n^(37)))的可解性,证明了该方程只有k=1,6,7,15,31,46,51时有正整数解,并给出了它的所有正整数解。研究结果丰富了数论函数方程可解性的内容。

数论函数方程(φ_(2)(n))^(2)=S(SL(n^(k)))的正整数解

设n是正整数,利用初等数论的方法和广义Euler函数φ_(2)(n)、Smarandache函数S(n)、Smarandache LCM函数SL(n)这3个函数的基本性质,讨论当k=2,5时数论函数方程(φ_(2)(n))^(2)=S(SL(n^(k)))的可解性,并给出了这2个方程相应的所有正整数解。研究结果丰富了数论函数方程的研究内容。

关于不定方程x^(3)-1=151y^(2)的整数解

利用同余、递归数列、因式分解等相关性质,证明了丢番图方程x^(3)-1=151y^(2)有且仅有一个整数解(x,y)=(1,0)。

不定方程 x 2 −kxy+k y 2 +dy=0的正整数解

本文研究了在d∈{3,5,7,11,13,17,19},k∈N∗时,不定方程x2−kxy+ky2+dy=0有无穷多个正整数解(x, y)当且仅当d = 3,k = 5, 6, 7;d = 5,k = 5, 7, 9;d = 7,k = 5, 8, 11;d = 11,k = 5, 6, 9, 10, 15;d = 13,k = 5, 11, 17;d = 17,k = 5, 7, 11, 13, 21;d = 19,k = 5, 11, 14, 23。在d为奇素数时,给出了不定方程x2−kxy+ky2+dy=0正整数解的一些必要条件。

关于一个欧拉函数方程的正整数解

设n是任意正整数,φ(n)是欧拉函数。主要研究了方程φ(xyzw)=2(φ(x)+φ(y)+φ(z)+φ(w))的可解性问题,给出该方程正序解的概念和所有32组正序解,进而得到所有451组正整数解。

不定方程 x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 的正整数解

丢番图方程的马少麟猜想与乘子为-1的阿贝尔差集有关。该文运用二次和四次丢番图方程的性质并结合Stormer定理,证明了:若a为正偶数,b,t,r为正整数,t≥r,则不定方程x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 +1的正整数解由t=r=1以及x+a√2^(b+2)(2^(b)-1)=(2^(b+1)-1+√2^(b+2)(2^(b)-1))n给出,其中n是正偶数。

指数不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解

设p,q为奇素数,p<q.利用同余式和平方剩余的方法,对不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解进行了研究.证明得出:若(p,q)≡(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(3,7),(5,1),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5)(mod8),则不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)除p=3,q=5时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,4),(6,2,17)以及q=p+2,p≠3时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,p+1)外,都仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3).

求解不等式存在整数解时的参数范围

第三步,分析含参方程根的情况,比较分析方程两个根的大小,确定取值范围.不等式(4-a)x^(2)+4x+1<0的解集中恰有3个整数解,需要对不等式的解集进行分类讨论.该不等式二次项系数的范围不确定,所以要对其按大于0、等于0、小于0分别进行讨论.

不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的整数解

给出不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的一种参数求解方法,分别对K=4D和K≠4D两种情况进行讨论,得到相应不定方程的参数解求解公式,其中K,D是互素的整数且KD>0。

对于方程整数解个数问题的进一步探究

利用隔板法可以解决经典的方程整数解个数问题.本文将对方程整数解问题进行加强和限制,将其推广到更一般的形式.本文在最后还会利用隔板法和方程整数解的思想,对复杂的实际问题进行探究和求解.

包含Euler函数的一个三元变系数不定方程的正整数解

针对包含Euler函数φ(n)的一个三元变系数不定方程φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)的可解性问题,利用数论相关内容以及初等方法,通过分析筛选获得该不定方程的所有32组正整数解。

七元一次不定方程整数解解公式

讨论了七元一次不定方程一切整数解的解法.通过将不定方程的元进行结合,构造出3个三元一次不定方程,再利用三元一次不定方程的一切整数解的一个解公式,得到了其一切整数解的解公式,并讨论了其非负整数解解数问题.

一次Diophantine方程的整数解

通过运用初等数学和高等数学的相关知识,得出求m元一次Diophantine方程的正整数解、非负整数解的解数的一种新方法.

一类求不定方程正整数解的组数问题的解法及推广

本文就2018年上海市高三数学竞赛第10题给出另解,由此引发思考;利用两个常用的数列生成函数给出第二种解法并给出两个通式,最后给出一般性地推广及两个变式.题目(2018年上海市高三数学竞赛第10题)求不定方程x+y+z+w=25的满足x <y的正整数(x, y, z, w)的组数.解设y-x=d(d∈N*),则2x+d+z+w=25.

关于不定方程x^3-1=3pqy^2的整数解研究

设pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.关于不定方程x3-1=3s∏i=1piy2(s≥2)的初等解法至今仍未解决.主要利用Pell方程的解的性质、递归序列、同余式、平方剩余等证明了p≡q≡1(mod 6)为奇素数,pq≡7(mod 12),(p/q)=1时,不定方程x3-1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(1,0).