从无穷递降法到递推数列

题1 证明：存在无穷多对正整数（a，b）（a≥b），满足以下性质： （1）（a，b）=1； （2）b^2≡5（mod a）； （3）a^2≡5（mod b）.

对无穷递降法逻辑和方法的若干思考

对无穷递降法逻辑和方法的若干思考徐俊杰（一）无穷递降法以它奇特的证明逻辑展现在人们的面前。人们运用它确实解决了很多问题。然而，对于这种证明逻辑的本身以及如何具体运用等问题，还没有深入地进行探讨。这里，从逻辑和方法的角度分析一下应该思考和解决的问题，希...

无穷递降法的应用

无穷递降法是费尔玛为证明不定方程x4+y4=z4无正整数解而创立的一种数学方法,无穷递降法大多用在不定方程解的讨论方面。

谈谈无穷递降法

由法国著名数学家费马最先提出的无穷递降法是解不定方程的一个最有效且常用的方法．

无穷递降法在一道题目中的应用

高中数学苏教版选修2—2课本第83页上有这样一个命题：证明√2是无理数． 下面笔者用另外一种方式证明上述命题．

无穷递降法证明费尔马大定理

费尔马大定理的证明,是世界级难题之一。早在1997年7月5日,美国的《电子科学》杂志就有关费尔马大定理证明问题发表了这样文章:"关于费尔马大定理的证明即使现在,也不能保证数学爱好者会因此而停止。因为安德鲁·外尔斯的证明异常复杂且难以用于计算,所以许多数学爱好者继续寻求17世纪费尔马的原始证明。"希尔伯特1900年在第二届国际数学家大会上的讲演说:"数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。把证明的严格化与简单化绝然对立起来是错误的。"本刊本着正本清源,百家争鸣的原则,特发表吉林师范大学夏氢先生的《无穷递降法证明费尔马大定理》一文,欢迎有关专家、学者探讨。

好玩的数学——费马的无穷递降法

费马（1601-1665），曾以律师为职业，并担任过图卢兹议院顾问。业余时间他专心致志于自己爱好的数学，并在几何学、概率论、微积分等众多数学领域留下了足迹，被称为业余数学家之王。费马最喜爱的消遣是研究数论问题，在这一领域他提出了为数可观的数论定理（最著名的是费马大定理），并引入了解决数论问题的一种美妙方法：无穷递降法。

利用无穷递降法解题

无穷递降法是解决数学问题的一种重要方法，特别是在不定方程的求解及研究整除性、存在性、整数数列的性质等问题中，具有重要的使用价值．本文举例说明其应用．

无穷递降法在不定方程中的应用

利用无穷递降法证明了:(1)若素数p=48 m+41(m≥0),则不定方程x^4+3py^4=z^2(y≠0)无整数解;(2)不定方程x^4+4x^3y-6x^2y^2-4xy^3+y^4=z^2的全部正整数解可表为(x_n,y_n,z_n)=(K_nd_n,L_nc_n,K_n^2c_n^2-2L_n^2d_n^2),这里Ln/Kn=cndn±en/c2n+2d2n(cndn>en),dn,cn,en满足2d_n^4-c_n^4=e_n^2.

无穷递降法及其应用

1何谓无穷递降法 1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法．由于费马的信并汶有发表，人们一直无从了解他的这一方法．直到1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法．无穷递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法．其证明模式大致是：先假设方程存在一个最小正整数解，然后在这个最小正整数解的基础上找到一个更小的解，构造某种无穷递降的过程，再结合最小数原理得到矛盾，从而证明命题．

无穷递降法与刘徽原理

让我们先从一道竞赛题的故事说起. IMO(国际数学奥林匹克)是世界上水平最高的中学生数学竞赛,每年7月举办一次,到2001年已举办了42届.这项中学生数学国际大赛有一个有趣的现象,就是历届IMO的试题没有一道是学生没有做出来的,但却有的题各国的领队和教练都没能做出来.第29届IMO的第六题就是如此.

韦达递降(升)法及其应用

无穷递降（升）法是证明某些不定方程无正整数解（或有无穷多组正整数解）时常用的方法，证明步骤大致为：先假定原方程有正整数解，再构造无穷递降（升）的过程．从方程本身看，该过程应当是有限（或无限）的，从而导出矛盾（或有无穷多组正整数解）．无穷递降法的理论依据即是“最小数原弹”．

著名数学问题Fermat大定理和Goldbach猜想的证明及其方法

彭文虎副教授的《著名数学问题Fermat大定理和Goldbach猜想的证明及其方法》一文,本刊已经收到很长时间。我们之所以迟迟未予发表,是因为经专家审阅后,认为该文存在明显的本质错误,文中对Fermat大定理及Goldbach猜想并未作出正确的证明。我们如实向作者转答了审稿意见及本刊不拟发表该文的决定后,作者在给本刊编辑部的来信中说:“通过对他们(编者注:指审稿人)的批评意见的深入思考,反而使我进一步坚定了拙文的正确性。对这种正确性的坚定,我将持续到看见真切指出拙文问题所在的时候。”“我认为两位专家的意见可以原封不动地搬去批评美国数学家克莱因教授,因为克莱因教授在他所著的《古今数学思想》(编者注:本书隶该文的主要参考文献)第一卷第320—321页里有一段话全面地介绍了Fermat首创的无穷递(降)法(编者注:原文无‘降’字),而且是通过对一个定理‘形如4n+1的一个质数可能而且只能以一种方式表达为两平方数之和’的证明来加以介绍的。按两位专家的意见,克莱因教授对这个定理的证明就是错误的。然而,到底是谁错呢?是克莱因教授?还是……?我当然相信克莱因教授正确,这绝不是因为克莱因教授是世界知名的大数学家,而是因为克莱因教授说的透彻明白而且理据充分。”“为了让一时找不到《古今数学思想》的,

最小数原理在数学竞赛中的应用

有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的方法之一就是最小数原理.最小数原理是证明关于自然数的命题的一种重要方法.它和数学归纳法的归纳原理是等价的,但是使用上比数学归纳法更灵活,应用面也更广,从替代数学归纳法、取集合中的最大或最小的数进行分析,取正整数的最小素因子进行分析,无穷递降法,韦达跳跃,无穷递降原理在操作类问题中的应用等方面举例说明了最小数原理的应用方法和技巧。

关于丢番图方程x^4±y^4=z^p

研究了丢番图方程（１）ｘ４＋ｙ４＝ｚｐ，（ｘ，ｙ）＝１和（２）ｘ４－ｙ４＝ｚｐ，（ｘ，ｙ）＝１的正整数解，证明了：①当ｐ＝３时，方程（１）和方程（２）均无正整数解；②当ｐ＞３是素数，ｐ±１（ｍｏｄ８）时，方程（１）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ；③当ｐ＞３是素数时，方程（２）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ或２ｐ｜ｚ．

方程x^p±y^(2p)=z^2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp+y2p=z2 仅有整数解 16+2 3 =32 ;方程x2p+2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p+2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.

关于Diophantine方程x^2+y^4=z^5

运用无穷递降法证明了:方程X4-10X2Y2+5Y4=Z2和X4-50X2Y2+125Y4=Z2都没有适合gcd(X,Y)=1以及2|XY的正整数解(X,Y,Z).由此推知:方程x2+y4=z5没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,z),上述结果解决了广义Ferm at猜想的一个特殊情况。

关于丢番图方程x^4±4y^8=pz^4

利用初等数论及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x8- 4y4 =pz4 、x4 - 4y8=pz8、6 4x8± y4 =pz4 均无正整数 ;方程x4 +4y8=pz4 除开 p =5仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ,同时还解决了方程x8+my4 =z4 在m =± p ,± 2 p ,± 4p ,±