本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S<sub>a</sub>（本文中m,n,a是已知的自然数,m【n,a≥2）。 引理 欧拉函数φ（a）表示集合A<sub>a</sub>={小于a的自然数中与a互素的数}的元素个数。若a=multiply fr...本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S<sub>a</sub>（本文中m,n,a是已知的自然数,m【n,a≥2）。 引理 欧拉函数φ（a）表示集合A<sub>a</sub>={小于a的自然数中与a互素的数}的元素个数。若a=multiply from i=1 to k (P<sub>i</sub><sup>a<sub>i</sub></sup>)（P<sub>i</sub>是互不相同的素数,a<sub>i</sub>∈N,i=1,…,k）,则φ（a）=multdiply from i=1 to k (P<sub>i</sub><sup>a<sub>i</sub></sup><sup>-1</sup>)（P<sub>i</sub>-1）,A<sub>a</sub>的元素和为1/2aφ（a）. 定理 S<sub>a</sub>=（1/2）（n<sup>2</sup>-m<sup>2</sup>）φ（a）. 证明 m与n之间分母为a的既约分数均可表为（ak+i）/2,其中k=m,m+1,…,n-1,i∈A<sub>a</sub>.由引理。展开更多
文摘本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S<sub>a</sub>（本文中m,n,a是已知的自然数,m【n,a≥2）。 引理 欧拉函数φ（a）表示集合A<sub>a</sub>={小于a的自然数中与a互素的数}的元素个数。若a=multiply from i=1 to k (P<sub>i</sub><sup>a<sub>i</sub></sup>)（P<sub>i</sub>是互不相同的素数,a<sub>i</sub>∈N,i=1,…,k）,则φ（a）=multdiply from i=1 to k (P<sub>i</sub><sup>a<sub>i</sub></sup><sup>-1</sup>)（P<sub>i</sub>-1）,A<sub>a</sub>的元素和为1/2aφ（a）. 定理 S<sub>a</sub>=（1/2）（n<sup>2</sup>-m<sup>2</sup>）φ（a）. 证明 m与n之间分母为a的既约分数均可表为（ak+i）/2,其中k=m,m+1,…,n-1,i∈A<sub>a</sub>.由引理。
