课本中一道求面积最小值问题的解法探究及变式

众所周知,高考试题一般在教科书上都可以找到“影子”。“源于教材,高于教材”已经成为高考命题的一条重要原则,也是专家青睐的一种命题手法。这就启示我们要研究课本习题,重视课本习题的组合、演变、延伸、推广及拓展。下面以课本中的一道复习参考题为例,分析题目的背景、结构和考查目标,从不同视角探究题目的解法,然后对题目进行变式拓展,希望对同学们的学习有所帮助。

柯西不等式巧解一类最小值问题

近年来,多元变量的最值问题是高考中的热点问题,相关题型形式多变,通常要考查分类讨论、转化与化归的数学思想,解法灵活,综合能力要求较高,也是学生的难点.本文着重介绍利用柯西不等式解决一类“双参数”的最小值问题,供大家参考.

构造点线距离巧解一类最小值问题

近年来,与参数有关的最值问题在高考试题中反复出现,相关题型变化多样,通常考查分类讨论、转化与化归的数学思想,解法灵活,难度较大.若题目涉及两个或多个参数的最值问题,则难度会直线上升.本文着重介绍构造点线距离的方法解决一类“双参数”的最小值问题,供大家参考.

“种瓜得瓜,种豆得豆”——一类“主从联动”最小值问题的解法策略

本文从一类主从联动最小值问题出发,探究从动点的运动轨迹,由轨迹得到这类问题的最小值,从而生成“瓜豆原理”,通过对模型的分析和证明,给出两种广泛的运用——“直线型”和“曲线型”.

聚焦圆锥曲线中的距离型最小值问题

圆锥曲线的最值问题,尤其是距离型最小值问题,是解析几何中常考的题型,求解这类问题不仅要用到圆锥曲线的相关定义,还需利用几何性质和函数性质加以转化,那么距离型最小值问题究竟有哪些,又该如何求解呢?本文举例说明.

例谈三角形中线长最小值问题的求解方法

在知识点交会处设置问题,考查学生对多个知识点的灵活、综合运用能力,这是近年高考试题命制的一个突出特点.基于此,关注三角形中线长最小值问题的常用解法,有利于帮助我们厘清解题思维,提升相关数学知识点在解题中的灵活、综合运用能力,进而提升直观想象、数学运算以及逻辑推理等方面的核心素养.

求解非光滑凸最小值问题的自适应信赖域方法

针对非光滑凸最小值问题提出一个自适应的信赖域方法,在利用Moreau-Yosida正则化将非光滑凸最小值问题转化为可微凸最优化问题的基础上,应用自动确定信赖域方法,每次迭代都充分利用当前迭代点包含的二次信息自动产生一个信赖域半径。在合适条件下,证明了全局收敛性和局部超线性收敛性质。

一个高考最小值问题的研究

2010年高考数学四川卷文科（11）题：

探究“a+kb型”线段和最小值问题

将军饮马问题是典型的两条线段和最短问题，记为“a＋b型”，常利用对称进行等量变换，将最短问题转化为“两点之间，线段最短”原理的简单应用问题．但其一些变式问题，譬如“a＋kb（常数k〉0）型”线段和最小值问题，对学生具有很大挑战性，如何突破学生思维障碍呢？通常需要进行一种新的变换，通过构造的方法转化、化归为简单情形，从而有效地寻找解题突破口，使问题顺利获解．下面举例探究如下：

构造圆求解最大值和最小值问题

解数学问题的常规方法：是从条件到结论的定向思维，而对有些问题按这种习惯性的思维方式来寻找解题途径，往往比较麻烦与困难．这时，我们应该变换自己的思维方向，改变一下思考角度，以便开辟一条能绕过障碍的新途径．构造性的思维及其方法便是一种十分有用的方法．它通过分析、联想，把题目中的已知条件重新组合，构造出新的图形、表达式、方程、函数等，使原来较为抽象、隐含的条件清晰地显示出来，以达到化繁为简、化难为易、化生为熟的目的．

一道最小值问题的探究历程

问题已知a＋2b=6，则√a2/4＋1＋√b2^＋9的最小值是（）

一个最小值问题的正确解法

在教材[1]中有这样一道求最小值的应用题： 要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的日城，轮船运费的单价是a元／km，火车运费的单价是β元／km（β〉a），试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省．

一道代数最小值问题的几何模型分析

[题目]已知：a,b,c,d∈R,m,n∈R^＊. 分析：函数y=m√（x-α）^2＋b^2＋n√（x-c）^2＋d^2取最小值的条件？ [几何模型]已知：两个定点A（a,b）、B（c,d）,P（x,0），为轴上任一点，分析：当P点具备何种条件时，m·AP＋n·BP取得最小值？

一类函数最小值问题的多解与推广探讨

我们经常会遇到这样的习题。

一道最小值问题的简解、类比与拓展

不难发现，问题1与《数学通报》1852号问题本质完全相同．由文[1]的证明，当OA＋AP—OB＋BP时，△OAB的周长最小，但没有导出最小值的公式．文E23借助导数给出了一个新证，并用解析法求出了这个最小值．文【1】和文[2]给出的两个求解过程都比较复杂，笔者在文E3-]中运用综合法和解析法探讨了这个问题，并剖析了取最值时点D满足的几何条件，结论如下．

一类最小值问题的命制与求解

问题提出引例已知a、b、c>0,a+b+c=3,求证a 2+b 2+c 3≥541-3737108.这是宋庆先生从外网上转发给笔者的来自越南的一个不等式问题.我们解决了该问题,感到此题小巧新颖.我们查阅了一些数学专著、杂志和网页,鲜见类似问题及其解法研究.这就引起了笔者的兴趣,于是提出如下一般性的问题.

一个最小值问题的几何意义

问题 1 已知对任意实数x，二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c的值恒非负．若n〈b，求M=a＋b＋c/b-a“的最小值． 文[1]罗列了表面形式不同的12种代数解法之后，提出了这样的问题：能否更直接抑或更直观地从图形上观察出M的最值呢？这里M有何种几何意义呢？

函数图象中两线段和的最小值问题

近年来中考中，频频出现了一些以函数图象为背景，求一动点与两定点距离和的最小值问题．解答这类问题的思路一般是转化为两点之间线段最短的问题．现举例如下：