陈省身·几何原本·欧拉示性数——从三角形内角和定理、高斯-邦尼公式到阿蒂亚-辛格指标定理

列昂纳德.欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)是18世纪数学的中心人物.欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点.本文从述评陈省身(1911-2004)求学和事业发展的历程及其相关言论的新视角,论述了欧拉对19世纪和20世纪数学的深刻影响及其数学与物理相结合的思想.数学的统一性反映了数学的本质.正如2002年国际数学家大会名誉主席陈省身指出的,"我们甚至可以预见纯数学与应用数学的统一".它揭示了未来数学发展的一个新的时代.

浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数

教育部于2002年4月颁发的《全日制普通高级中学数学教学大纲》规定,“多面体欧拉定理的发现”为必修内容中的“研究性学习课题”之一。我们经过对大纲及相关内容的学习,有以下体会。这部分内容主要包含:

相对同调的等价刻划及相对欧拉示性数

给出群关于其子群的相对同调的一个等价刻划。并把群的欧拉示性数推广到相对同调群上去，证明了群关其子群的相对欧拉示性数等于干群的欧拉示性数减去大群的欧拉示性数．

二维曲面的欧拉示性数(英文)

本文给出了带有交叉帽的二维曲面和带有边缘边的二维曲面的欧拉示性数。

欧拉示性数在生物方面的应用

本文利用欧拉示性数解释了生物方面一些自然现象，并讨论了它在生物方面的应用．

Moment-angle复形轨道构型空间的欧拉示性数

设I^m为m维标准方体,K'为单纯复形K的重心重分.将K'上的锥形按一定规则逐片线性嵌入I^m的典范单纯剖分中,从而得到K对应的一类方体复形cc(K).根据cc(K)的构造过程,计算了cc(K)的f-向量,即各个维数的胞腔个数.通过投射(D^d)m→J^m的拉回,可定义cc(K)上的moment-angle复形Z_(K.d).将Z_(K,d)放入轨道构型空间的框架中,得到轨道构型空间F_G(Z_(K,d,n)).由F_G(Z_(K,d,n))的组合结构和著名的Inclusion-exclsion原理,给出了轨道构型空间FG(Z_(K,d,n))的欧拉示性数利用f-向量表示的计算公式,并且提供了一种计算Z_(K,d)欧拉示性数的新方法.

多面体欧拉定理的另一种推广——兼欧拉示性数本质探讨

本文指出欧拉示性数2实际是1,并把多面体欧拉公式推广到有限个点线面体综合体都适用,示性数1本质是指n维几何系统所在空间的唯一性,并提出n维几何系统统一公式的猜想.

欧拉示性数在确定不动点方面的一些应用

本文根据空间的欧拉示性数是否为零．来确定该空间的自映射是否有不动点的几个方面的应用。

单纯复形的欧拉示性数

给出一个计算单纯复形的欧拉示性数的有效方法，它是文［３］中的一个拓扑结果的类比．特别给出了判定欧拉示性数为零的充分条件，并讨论了这些结果在组合数学中的应用．

对欧拉公式的进一步讨论——浅谈欧拉示性数在几何图形分类中的作用

在中学阶段，对于几何图形的分类是几何学习中的重要内容．对于这部分内容的学习不仅可以加深学生对各种几何对象性质的认识，还有助于培养其分类的数学思想．因此，进一步掌握有关几何图形分类的内容，对于中学数学教师提高自身知识水平，增强数学素养都有一定帮助．分类的核心思想在于抓住几何对象的不变量．比如说，对于任意一个平面上的凸多边形，图形由它的边围成，可以按照边数对其分类，分为三角形、四边形、五边形等．

可嵌入到欧拉示性数非负的曲面图的线性荫度

图G的线性荫度是一种非正常的边染色,即它的边集合E(G)可以分割成线性森林的最小数量,用la(G)表示。主要研究最大度Δ(G)≥7且可嵌入到欧拉示性数非负曲面图G上的线性荫度,证明了如果图G中不含相邻的含弦6-圈,则图G的线性荫度为「Δ/2」。

Moment-angle复形W_(k,d)轨道构型空间的欧拉示性数

给定方体的典范单纯剖分.将单纯复形K的重心充分K′逐片线性嵌入高维方体中,从而得到K对应的方体复形cub(K).由cub(K)的构造,计算了cub(K)的f-向量.cub(K)上可以定义moment-angle复形W_(K,d).将W_(K,d)放入轨道构型空间的框架中,得到轨道构型空间FG(W_(K,d),n).利用著名的Inclusion-exclsion原理和cub(K)的f-向量,计算出了轨道构型空间FG(W_(K,d),n)的欧拉示性数,并且给出了一种计算W_(K,d)欧拉示性数的新方法.

谈初等几何中欧拉(Euler)定理的教学

本文系统地阐述了初等几何中欧扭(Euler)定理的思想来源,证明方法以及由 Euler 示性数对曲面进行分类等问题,以期对中学数学教师教学借鉴.

地壳受力的向量场及奇点的存在性

在地壳的每一点,由于受力定义了整个地壳上的向量场,然后利用同胚,将其转化为球面上的自映射,并根据球面的欧拉示性数等于2,说明该自映射至少有一个不动点,即向量场至少有一个奇点.这样,从理论上解释了地震、海啸、火山等自然现象发生的必然性.

较大亏格曲面嵌入图的线性荫度

通过度再分配的方法研究嵌入到曲面上图的线性荫度.给定较大亏格曲面∑上嵌入图G,如果最大度Δ(G)≥((45-45ε)^(1/2)+10)且不含4-圈,则其线性荫度为[Δ/2],其中若∑是亏格为h(h>1)的可定向曲面时ε=2-2h,若∑是亏格为k(k>2)的不可定向曲面时ε=2-k.改进了吴建良的结果,作为应用证明了边数较少图的线形荫度.

全球大气运动应遵循的拓扑定理

地面天气图上的等压线斑图是空间压力曲面的廓线。全球压力曲面是凸凹不平的球面。压力曲面的峰、谷和通道(pass)对应于天气图上的高压中心、低压中心和鞍点(saddle;两个高压或两个低压间的通道)。尽管空间压力曲面的凸凹不平的位置随时间变化,相应的天气图上的高低压位置也不断变化,天气也随之变化,但是全球压力曲面的欧拉示性数(Euler characteristic)却是一个拓扑不变数,这个不变量就是球面的欧拉示性数为2。拓扑学的莫尔斯(Morse)定理,用大气学科的语言讲就是天气图上的(高压数目)+(低压数目)-(鞍点数目)=2。若将其推广到任何闭合曲面、任何奇点,则广义上称为庞加莱(Poincare)-霍普夫(Hopf)定理。显然,这个定理对天气预报有重大意义。本文列出了经向流、纬向流、单圈环流和三圈环流等例子。广大气象学工作者不但要知道大气运动应遵守流体力学的纳维-司托克斯(Navier-Stokes)方程,还要知道全球大气运动要遵循拓扑上的庞加莱-霍普夫定理。

嵌入曲面的特殊图的边染色

设图G是嵌入到欧拉示性数χ(∑)≥0的曲面∑上的图,χ′(G)和Δ(G)分别表示图G的边色数和最大度.如果△(G)≥4且G满足以下条件:(1)图G中的任意两个三角形T_1,T_2的距离至少是2;(2)图G中i-圈和j-圈的距离至少是1,i,j∈{3,4};(3)图G中没有5-圈,则有Δ(G)=χ′(G).

不含4-圈图的森林分解

研究了不含4-圈图的森林分解问题.利用权转移法,得到了任意一个不含4-圈的NC-图能分解成2个森林和1个线性森林.

上可嵌入图与次上可嵌入图的线性荫度

通过度再分配的方法研究上可嵌入图与次上可嵌入图的线性荫度,证明了最大度△不小于(4-3ε)^(1/3)且欧拉示性数ε≤0的上可嵌入图其线性荫度为「△/2」.对于次上可嵌入图,如果最大度△≥(4-3ε)^(1/3)且ε≤0,则其线性荫度为「△/2」.改进了文献[1]中最大度的的界.作为应用证明了双环面上的三角剖分图的线性荫度.