几道竞赛题的另解策略

问题呈现:题1(“希望杯”全国竞赛题)如图1,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE,若CE=DE,求证:△ABC为等边三角形.题2(全国初中数学联赛题)如图2,在△ABC中,已知∠CAB=60°,D、E分别是边AB、AC上的点,∠AED=60°,且ED+DB=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=______.

例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

数据方差公式是统计中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题,若能根据特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,则思路清晰、明快简捷,常常会有出其不意的解题之效.

对一道浮块组合竞赛题的深入研究

围绕一道上海“大同中学杯”中的浮块组合竞赛题进行解法探讨,并针对题设情境展开深入研究.

一道三角函数竞赛题的创新解法

文[1]中第二章的例8是2014年学数学奥林匹克邀请赛试题,其解答较繁琐,笔者经过研究,给出一种简洁明快的创新解法,现与各位同仁分享.

一道2022年阿塞拜疆竞赛题的证明与推广

题目已知a,b,c>0,1/a+1/b+1/c≥3/abc,求证:a^(2)+b^(2)a^(2)+b^(2)+1+b^(2)+c^(2)b^(2)+c^(2)+1+c^(2)+a^(2)c^(2)+a^(2)+1≥2.(1)本题是2022年阿塞拜疆数学奥林匹克中的一道不等式题.不等式(1)左边三个分式的特点很明显,可以从拆项法入手,将每个分子化为1,由此获得下面两种证法.

一道不等式竞赛题的加强、变式及推广

1试题呈现题目已知a,b,c>0,满足a+b+c=1,求证:■.这是2017年希腊数学奥林匹克竞赛题中的一道不等式证明题,文中陈老师给出了一个加强,笔者对该试题做进一步的探索,得到了该不等式的加强、变式和一般性的推广.2试题析证析证:条件a+b+c=1是不等式证明题的经典类型,证明此类不等式,总体思路是通过对不等式进行变换,“凑出”a+b+c=1项,或者在变换过程中进行整体代换,简化不等式从而得到证明.

几道三角形“四心”数学竞赛题的求解

三角形的四心即重心、垂心、内心和外心问题涉及到的知识面较广,且极具思考性和挑战性,是数学竞赛命题的重点.本文精选几道与“四心”有关的竞赛题进行解析,旨在探究“四心”在数学竞赛中的应用.例1(2018年福建省大梦杯初中数学竞赛九年级3)如图1.

例析与完全平方数有关的竞赛题

数学竞赛中常常会出现一些类似于“求正整数n,使得……为完全平方数”的问题(以下简称完全平方数问题),对此学生常想到一些高深的数论知识,也因此有畏难情绪,望而却步.1知识介绍事实上,此类题首先要考虑的是n为正整数这个条件,即要想到要下面的知识1、知识2;其次要考虑的是在全体整数范围内求值的问题;最后要考虑的是完全平方数这个条件.后两者常与知识3、知识4有关.

一道三角形竞赛题的解法探析

2023年全国高中数学联赛北京预赛一试第7题将三角形和三角恒等变换巧妙地组合,考查对基本数学公式的应用和恒等变形能力,是一道非常有创意的竞赛题,下面和同学们来探析该赛题的解法.1.试题再现已知在△ABC中,a=2b,cosB=2√23,则sinA-B/2+sinC/2=____.

一道东南地区数学竞赛题的证明与推广

1.赛题呈现问题1设a,b为正数,证明:(a^(3)+b^(3)+a^(3)b^(3))(1/a^(3)+1/b^(3)+1/a^(3)b^(3))+27≥6(a+b+1/a+1/b+b/a+a/b).(1)分析:该题是2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克第1题不等式(1)虽然是二元不等式,但是两边的结构比较复杂,如果盲目地展开实施转化,那么容易出现组合或者搭配不当等问题,导致解题思路受阻.不妨实施减元策略,把二元不等式(1)化为一元不等式.

一道不等式竞赛题的推广与探究

一、试题呈现题目(第二十届中国东南地区数学奥林匹克第1题)给定正实数a,b,证明。

两道不等式竞赛题的改进与推广

题1(2020年浙江省高中数学夏令营测试)设非负实数x,y,z,证明:1 x+y+z+3-1(x+1)(y+1)(z+1)<1/6√3.题2(2021年第18届中国东南地区数学奥林匹克(高二)第3题)设a,b,c≥0,a^(2)+b^(2)+c^(2)≤1.证明:a/a^(2)+bc+1+b/b^(2)+ca+1+c/c^(2)+ab+1+3abc<√3.

一道摩洛哥竞赛题的多解探究、变式与推广

1.试题呈现题目设x,y,z>0且xy+yz+zx+2xyz=1,证明:1/1+4x+1/1+4y+1/1+4z≥1.①这是2005年摩洛哥数学奥林匹克竞赛的一道不等式证明题.文[1]对此题作了研究,读后深受启发,于是对该题做进一步的探究,得到了不同于文[1]中的几种解法.

一道奥林匹克竞赛题引发的探究与思考

题目设a,b,c>0,求证:a/√7a^(2)+b^(2)+c^(2)+b/√a^(2)+7b^(2)+c^(2)+c/√a^(2)+b^(2)+7c^(2)≤1①.本题是2020摩尔多瓦数学奥林匹克中的一道无理对称不等式问题,为证此不等式,先给出如下已知结论.

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题

柯西不等式是指:设正实数a_(1),a_(2),…,a_(n),b_(1),b_(2),…,b_(n),则(a_(1)^(2)+a_(2)^(2)+…+a_(n)^(2))(b_(1)^(2)+b_(2)^(2)+…+b_(n)^(2))≥(a_(1)b_(1)+a_(2)b_(2)+…+a_(n)b_(n))^(2),当且仅当a_(1)/b_(1)=a_(2)/b_(2)=…=a_(n)/b_(n)时等号成立.其中的一个变形:设a_(1),a_(2),…,a_(n),b_(1),b_(2),…,b_(n)为正实数.

应用权方和不等式解近年数学竞赛题

在数学竞赛试题中,经常出现利用不等式求最大值和最小值问题,证明不等式问题,以及比较复杂的高次分式方程问题等,这些题用高中数学所学的常规知识与方法去解决往往比较麻烦,甚至可能行不通,但有些题有比较明显的形式特征,比如分子的次方数比分母的次方数高一次,或分母之和有可利用的特征等,我们就可以尝试用权方和不等式去解决,往往会有显著的效果.下面举例说明权方和不等式在解竞赛题中的应用.

一道全国大学生数学竞赛题的探讨

给出了第八届全国大学生数学竞赛一道决赛试题的三种解答,在此基础上给出了此类题型的一个推广结果并举例说明其应用,最后说明了参数曲面积分的定号问题.

2010年国际深空探测轨道优化竞赛题目与竞赛结果

深空探测主要是指针对月球以远的天体和空间的探测活动.自1959年前苏联发射＂月球一号＂成功飞越月球以来,人类发射了180多颗深空探测器,已探测了太阳系中除冥王星以外的主要天体及一些小行星.早期探测器都采用脉冲推进方式,推力大、作用时间短,可以采用几何方法设计轨道.在未来的深空探测中,将广泛采用高比冲连续小推力方式,轨道设计需要运用最优控制理论.多目标、多任务探测的轨道优化设计,

一道竞赛题的证明与思维拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中有这样一道代数不等式题目： 问题1 设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3. 文[1]是通过构造三角形，挖掘它的几何意义，利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明的．笔者的思考是，既然是纯代数的不等式，那么，有没有直接的代数证法呢？事实上，回答是肯定的．