代数表示论简介与综述

代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支。它的基本内容是研究一个Artin代数上的模范畴。由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。本文介绍了代数表示论的理论基础:几乎可裂序列;箭图和赋值箭图的表示;Coxeter函子;AR-箭图的覆盖及代数的Galois覆盖。并简单介绍了在代数表示论中普遍应用的工具:Tilt理论,以及著名的Dpozg定理证明过程中用到的Bocs理论。

基于群表示论的微波等离激元谐振器模式响应研究

作为光频段局域表面等离激元的低频对应物,人工局域表面等离激元因其深亚波长局域场增强和高Q值谐振的特点而受到广泛关注。微波等离激元谐振器是产生人工局域表面等离激元的典型器件,其特点是具有多重离散旋转对称性和镜面反射对称性。以往的研究提出了等效媒质法和等效色散法分析微波等离激元谐振器的模式响应,但这两种方法都未能充分考虑谐振器的几何对称性从而未能全面揭示其模式特性。本文针对谐振器的几何对称性提出了群表示论方法分析其模式响应。通过对称性分析,发现谐振器的几何对称性所构成的群的不可约表示数等于谐振器所能支持的人工局域表面等离激元模式的数目。以对称性构成C7v群的谐振器为例,C7v群的5个不可约表示数对应了5种人工局域表面等离激元模式,分别为零阶模式(也即磁偶极子)、偶极子、四极子、六极子和十四极子。受限于几何对称性,谐振器将不能支持更多阶的模式。为验证群表示论方法,设计了对称性构成C7v群的微波等离激元谐振器,全波仿真结果很好地证明了上述理论。本文提出的群表示论方法也可推广到其他频段如光频,因而具有广泛的适用性。

Birman-Wenzl代数的表示论及其应用

阐述了近年来Ｂｉｒｍ ａｎ－Ｗｅｎｚｌ代数表示论的研究进展及其应用情况，特别是对其经典情形Ｂｒａｕｅｒ代数的表示论及在Ｂ，Ｃ，Ｄ型李群不可约表示的直积分解、耦合系数计算中的应用作了详细的介绍．

有限群模表示论

概要介绍有限群模表示论并对有限群模表示论的发展作进一步展望。近30年来,由于新方法的引进与新理论的建立,有限群模表示论得到了迅速发展,日益深刻地应用到其他学科中,且与代数几何、代数群表示论、代数表示论等相互融合渗透,紧密地结合在一起,有力推动着数学科学的发展。

上同调与表示论

由浙江大学数学科学研究中心举办的上同调与表示论国际会议于2013年9月23-25日在浙江大学举行。本次会议由浙江大学数学科学研究中心主任、浙大光彪讲座教授、加州大学洛杉矶分校数学系终身教授刘克峰先生和浙江大学光彪特聘教授、美国密歇根大学的季理真教授负责主持。其中组织委员会成员还包括浙江大学的李方教授。

代数表示论的某些新进展

代数表示理论是代数学的一个新的重要分支．在近二十五年的时间里，这一理论有了很大的发展．关于代数表示的基础理论的介绍可参见文献［１０１］．本文主要从Ｈａｌ代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展．第一章给出了Ｈａｌ代数的基本理论及其方法，并且着重指出了利用这一理论和方法通过代数表示论去实现Ｋａｃ－Ｍｏｏｄｙ李代数及相应的量子包络代数．第二章介绍了拟遗传代数及其表示理论，以及这一理论与复半单李代数及代数群的表示理论等的联系．

李代数s1(2,C)的表示论的一个应用

本文利用李代数sl(2,C)

表示论与Toda链的τ-函数解结构

随着孤子理论和反散射方法的深入和发展,发现了为数众多的可积系统。如何用一个简单而统一的框架来处理可积系统,已成为一个重要的课题。Lie群、Lie代数本就与可积系统的研究有着密切的联系,M.Adler,B.Kostant,W.W.Symes等人则首先通过轨道理论和表示论,建立了一个用Lie群、Lie代数来处理可积系统的框架,由此不仅研究了如推广的Toda链这类经典可积系统,而且还处理了无限维的可积系统,见M.A.Adler,A.G.Reyman和M.A.Semenov—Tian—Shansky等。这个方法对经典可积系统的量子化也提供了一条重要的途径,如R.Goodman和N.R.Wallash,O.Babelon和C.M.Via-llet.

李群表示论和Schubert条件

本文将Grassmann流形上的Schubert子簇所满足的经典的Schubert条件推广到一般的复半单李群G的广义旗流形.利用复半单李群的表示理论,我们首先在李群的权空间上引入自然的Ehresman偏序.这一偏序可以导出李群的最高权表示的权系、Weyl群及其陪集空间上的Ehresman偏序.然后我们对一般的复表示定义了相应的射影空间,Grassmann流形和旗流形.这使得能够像经典的情形一样来分析广义旗流形的Schubert子簇满足的Schubert条件.在讨论中,我们还给出了李群G的Weyl群及其陪集空间中的Bruhat-Chevalley偏序的简单判别条件.我们的结果应用到例外群,给出了Fulton提出的关于例外群的Schubert分析的问题的部分回答.

代数表示论发展迅速

1998年8月,由组织委派,受德国DAAD资助,我在德国Bielefeld(比勒费尔特)大学合作研究两个月。 (1)在德期间,我完成了"Quasi-hereditary algebras with a Kazhdan-Lusztig Theory"的学术论文。Kashdan-Lusztig理论来源于关于有限群表示理论的著名Kashdan-Lusztig猜想。美国教授Scott曾在1992年的加拿大数学年会上提出问题:在什么条件下,一个拟遗传代数具有Kashdan-Lusztig理论?我在论文中讨论了这个问题。

表示论和调和分析国际研究会

为了加强我国数学界与国际同行的交流合作、推动国内表示论调和分析的研究，侯自新教授和黄劲松教授主持的“表示论与调和分析国际研讨会”于2011年6月5—11日在南开大学陈省身数学研究所成功举办。本次会议得到了教育部高校数学研究中心、国家自然科学基金委、陈省身数学研究所与南开大学数学学院的大力资助和支持。

2010表示论和调和分析国际会议

2010年6月5—12日，由南开大学数学学院侯自新教授、梁科教授和香港科技大学黄劲松教授组织的“表示论和调和分析国际会议”在南开大学陈省身数学研究所成功举办。本次会议得到了教育部高校数学研究中心、国家自然科学基金委、陈省身数学研究所与南开大学数学学院的大力资助和支持。

2012南开表示论与调和分析国际研讨会

由南开大学主办的2012表示论与调和分析国际研讨会于2012年6月4—8日在南开大学陈省身数学研究所成功举办。此次会议学术委员会成员包括国内外表示论与调和分析研究方向的著名学术带头人，即：香港科技大学黄劲松教授，南开大学数学学院候自新教授和粱科教授，美国科学院院士、麻省理工学院D．vogan教授和加州大学伯克利分校J．wolf教授。组委会成员包括黄劲松教授、邓少强教授、白承铭教授、朱富海教授和陈智奇副教授。本次会议得到了教育部高校数学研究中心、国家自然科学基金委、南开大学陈省身数学研究所和数学科学学院的大力支持和资助。

表示论在本科抽象代数教学中的应用

本文通过大量实例说明在本科抽象代数的教学过程中如何自然和较为容易的向初学者传授群表示的思想和方法.这些实例是笔者在实际教学过程中系统总结和应用过的,收到了良好的教学效果.这些内容完全可以系统化的在一个学期的授课过程中讲授完毕,使得学生可以在第一时间接受更为系统的现代代数学思想和方法.

论公司决议中意思表示瑕疵规则的适用及其限度

作为一种组织法上的特殊法律行为,公司决议中存在适用意思表示瑕疵规则的理论空间。但公司决议的形成依赖于股东个人意思表示的作出与团体议事程序的有效运作,具有行为法与组织法交融的特征。司法实践中关于公司决议瑕疵的效力判断存在个人行为法路径与团体组织法路径的截然对立,未能在股东个体权利救济与组织关系安定性之间实现价值平衡。基于主体利益关系的竞争性、内部运转的程序正义理念和多数决原则的控制功能这三个方面的特性,公司决议适用意思表示瑕疵规则应当进行相应的修正及限制。在股东意思与表示不一致的情形下,基于表决主体可苛责性和相对人信赖保护的考量,股东原则上不得主张意思表示瑕疵而影响公司决议效力。在股东意思表示不自由的情形下,原则上可以引入意思表示瑕疵规则实现对股东个体权利的救济,但需区分不同情形予以具体分析,同时还要充分注重与现有公司决议效力规则的体系衔接。

任务协作表示增强的要素及关系联合抽取模型

对文本中诸如实体与关系、事件及其论元等要素及其特定关系的联合抽取是自然语言处理的一项关键任务.现有研究大多采用统一编码或参数共享的方式隐性处理任务间的交互,缺乏对任务之间特定关系的显式建模,从而限制模型充分利用任务间的关联信息并影响任务间的有效协同.为此,提出了一种基于任务协作表示增强的要素及关系联合抽取模型(Task-Collaboration Representation Enhanced model for joint extraction of elements and relationships,TCRE).该模型旨在从多个阶段处理任务间的特定关系,帮助子任务进行更细致的调节和优化,促进整体性能的提升.在三个关系抽取和一个事件抽取数据集上进行实验,TCRE在实体识别和关系提取任务上平均性能分别提高0.57%和0.77%,在触发词识别和论元角色分类任务上分别提高0.7%和1.4%.此外,TCRE还显示出在缓解“跷跷板现象”方面的作用.

因果关系表示增强的跨领域命名实体识别

跨领域命名实体识别在现实应用中,尤其在目标领域数据稀缺的小样本场景中具有重要价值。然而,现有方法主要是通过特征表示或模型参数共享实现的跨领域实体能力迁移,未充分考虑由于样本选择偏差而引起的虚假相关性问题。为了解决跨领域中的虚假相关性问题,提出一种因果关系表示增强的跨领域命名实体识别模型,将源域的语义特征表示与目标域的语义特征表示进行融合,生成一种增强的上下文语义特征表示。通过结构因果模型捕捉增强后的特征变量与标签之间的因果关系。在目标域中应用因果干预和反事实推断策略,提取存在的直接因果效应,从而进一步缓解特征与标签之间的虚假相关性问题。该方法在公共数据集上进行了实验,实验结果得到了显著提高。

单边区间集模糊半概念的知识表示及提取方法

为了使“区间”形式加以表述的不确定信息的提取具有侧重性,需提取出对象(属性)集对应的属性(对象)区间集。本文在模糊形式背景中,通过引入2个阈值,将单边区间集与经典半概念结合,提取出属性(对象)集对应的对象(属性)区间集,从而提出区间集外延–集合内涵(集合外延–区间集内涵)(interval set extent-set intent(set extent-interval set intent),ISE-SI(SE-ISI))型单边区间集模糊半概念。全体ISE-SI(SE-ISI)型单边区间集模糊半概念构成格,并给出基于格搜寻全体ISE-SI(SE-ISI)型单边区间集模糊半概念的算法。通过与已有成果对比,显示出这2种知识表示形式的多方优势。本文所得结果在知识表示及提取方法上具有适用范围广、实际应用强等优点。

基于三维空间旋转平移的自适应知识表示方法

现有知识图谱表示学习研究中普遍存在忽视特定关系的语义空间、难以建模非单射复杂关系或多种关系模式等问题,尤其是在不可交换的组合以及子关系两种关系模式上表现不佳。针对该问题,在对实体自适应投影的基础上,利用罗德里格斯旋转公式将旋转操作从二维空间拓展到三维空间并进行平移优化,提出一种新的具有强表征能力的模型ATR3DKRL。通过理论推导可以证明该模型能够建模非单射复杂关系以及多种关系模式。在多个通用数据集上的实验结果表明,该模型可以有效提高链接预测精度,在数据集DB100K与FB15K-237中四个指标上领先现有基线模型,其中在DB100K上评价指标MRR和H@1相较于基线模型RotatE分别大幅提高了3.3%以及6.5%。

缆机安全运行本体知识表示及复用方法

为解决缆机运行管理过程中,大量多源异构结构化和非结构化知识难以复用及知识管理效率低的问题,分析缆机安装和运维过程中积累的大量技术规范、专家经验等安全知识,提取缆机运行相关实体类,采用五元组模型结构化表达缆机安全运行本体知识,并建立类间二元关系,使用Protégé中的本体表达语言程序化表示;构建缆机实体、安全预警、应急预案3大领域本体知识库;采用3Dmax软件,构建缆机运行三维场景模型,导入Unity3D引擎,在用户界面和交互功能中,实现本体知识库知识检索;针对缆机各实体存在的安全隐患、事故实例、应急预案,构建完整的缆机安全运行知识检索三维可视化平台。结果表明:缆机安全运行本体知识库,能够集中统一管理各种缆机安全运行知识,结合知识检索平台,可实现知识的高效查询和复用。