阿波罗尼斯圆模型的应用

在各级各类考试中,所涉及的一些求动点的轨迹问题、形如λPA+PB(PA+λPB)(λ>0,λ≠1)的最值问题、一些向量模长的最值或夹角范围问题、解三角形中的最值问题等,如果其背景是阿波罗尼斯圆(简称阿氏圆)模型,那么就可以运用转化的思想,通过模型来快速解答问题.

基于问题解决的“阿波罗尼斯圆”几何背景探究

新课程改革倡导培养学生的探究能力,那么如何利用教材中的典型问题激发学生的学习兴趣、引导学生深度探索问题的本质,培养学生的思维能力呢?本文由一个“阿波罗尼斯圆”问题从几何角度展开了对“阿氏圆”性质的探究,在深刻理解了“阿氏圆”的成因与性质基础上成功地解决了上述问题.

阿波罗尼斯圆的性质及其在解三角形中的应用

阿波罗尼斯圆(以下简称阿氏圆)是基于一个动点与两定点的距离之比为定值的视角,对圆本质特征的刻画.阿氏圆及其性质在解三角形中有着广泛的应用.下面对其进行拓广探究与迁移应用,以期实现模块知识融合,优化知识结构,提高解决问题能力.

例谈阿波罗尼斯圆的应用

纵观近几年的中考题,数形结合问题是一大热门考点.阿波罗尼斯圆就是数形结合类问题中的一个典型问题,它主要用于求某些“极限值”.通过对阿波罗尼斯圆的考查,可以强化学生的数形结合思想,让学生体会到数学的美感.为此,笔者将结合几道例题谈谈常考的两类阿波罗尼斯圆模型应用题型.

例析以“阿波罗尼斯圆”为背景的热点考向

古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足|PA|/|PB|=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆,又称阿氏圆。当λ=1时,P点的轨迹是线段AB的中垂线,这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。

阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究

圆在高中数学题型中广泛且内容应用灵活,而阿波罗尼斯圆作为一种特殊的圆时常伴随着解三角形、平面向量、立体几何及解析几何等内容出现,将原有常规解复杂的问题进行简化。为避免思维固化、计算繁琐等问题,本文提供了构造阿波罗尼斯圆的两个条件及阿波罗尼斯圆相关性质,提供新型解题思路,使得解题高效化、便捷化、灵巧化。再从不同的应用层次出发,随着层次的递增,学生对性质掌握的要求也就越高,本文设置相关题目逐级加深对性质的理解,便于学生对应不同的层次进行掌握学习。

探究一动点到两定点的距离比和该动点位置的关系——从阿波罗尼斯圆到“广义阿波罗尼斯圆”

笔者探究“一动点到两定点的距离比和该动点位置的关系”即阿波罗尼斯圆的生成问题,探究阿波罗尼斯圆的作法(调和点列法、代数式法、中垂线轨迹法)并加以证明.通过对中垂线轨迹法的进一步推导研究,发现涵盖阿波罗尼斯圆的“广义阿波罗尼斯圆”及其直径公式,并反向推导出阿波罗尼斯圆的半径公式.在此基础上提出“广义阿波罗尼斯圆”可以推导出斜环索线(布曼斯特曲线)的猜想.

基于阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆在高中数学中的应用十分广泛,它不仅能帮助学生深入理解数学和几何的基本概念,还能大大简化解题时的计算.掌握阿波罗尼斯圆的基本应用,对学生数形结合的解题能力的培养有重要作用.

例谈阿波罗尼斯圆的应用

文章从阿波罗尼斯圆的定义入手,给出近年来中考相关试题的解法,为学生学习高中解析几何打下良好的基础.

阿波罗尼斯圆的逆向探究及应用

一、提出问题题目已知动点M在圆O:x^(2)+y^(2)=1上,定点P(-1/3,0),若点B(1,1),则3|MP|+|MB|的最小值为____.

重视课本习题潜在功能的研究、挖掘和利用——从利用阿波罗尼斯圆性质解题谈起

阿波罗尼斯圆(简称阿氏圆)在教材中并未被正式介绍,而是以一道习题(苏教版《数学必修2》第112页)或三处练习(人教版《数学必修2》第124页、第140页、第144页)的形式现了个雏形,但在高考、各地调研模拟,以及竞赛中颇受命题者的青睐.笔者在教学过程中也为学生隆重地介绍过阿氏圆的背景、由来,以及推导过程,并研究了其性质,发现用其性质能快速地解决一些问题,具有事半功倍的效果,学生易于理解掌握,颇为欣赏.现略作介绍,与读者分享.

射影几何调和点列作图与阿波罗尼斯圆的联系

利用射影几何的调和点列,探讨阿波罗尼斯圆的性质,并且利用这些结论,解决圆切线几何作图和相关数学考题中的问题,进而从统一结构形式给出命题的推广.

阿波罗尼斯圆与平面向量的“碰撞”

平面上一动点到两个定点距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则该动点的轨迹为圆,这样的圆称之为阿波罗尼斯圆.而向量作为高中数学的重要知识点,灵活多变,在考查中备受青睐.阿波罗尼斯圆与向量模三角不等式相遇,“碰撞”出美妙的火花.

优美的圆——阿波罗尼斯圆

高三数学二轮复习的目标是强化高中数学主干知识,优化解题方法,形成良好的知识网络.二轮复习的目标决定二轮复习与一轮复习有很大的不同,需要通过专题复习对主干知识和主要方法进行突破.笔者所教的是文科班,一段时间复习下来,深切的感觉到二轮复习的选题不在多,而在精,必要时可根据学生掌握的情况进行微专题复习,可能会取得不错的效果.

关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究

阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见,其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律,探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义,可有效解决相关圆类问题,下面对其加以探究,供读者参考.

阿波罗尼斯圆的三个层次的应用

2017年版新课标提出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.培养学生的数学核心素养的最重要的载体必然是教材,而体现和考查学生学科核心素养的重要方式是高考.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果.

阿波罗尼斯圆的一个几何结论及应用

本文给出了阿波罗尼斯圆的一个几何结论,并通过列举其在解三角形、立体几何、平面向量和解析几何等有关问题中的应用,让大家感受其在解题中的美妙.

由阿波罗尼斯圆衍生圆锥曲线的优美性质

1阿波罗尼斯圆背景阿波罗尼斯,约公元前262—前190,古希腊人,他最主要的数学成就是在前人的基础上创立相当完美的圆锥曲线理论,在《圆锥曲线论》书中,有一个著名的几何问题：＂在平面上给定两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA/PB=λ,当λ〉0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆＂,

HPM视角下数学史融入数学教学研究——以阿波罗尼斯圆为例

随着对数学史在数学教育中的价值的研究逐渐深入,以及新课程标准改革的不断推进,越来越多的专家和教师开始尝试将数学史融入数学教学,本文主要从HPM视角、数学课程标准入手,分析数学史融入数学教学的背景及理论基础,论述以阿波罗尼斯圆为案例的数学史融入数学教学的策略,提出数学史与数学教育发展的反思与建议。

例析阿波罗尼斯圆的命题策略

本文从阿波罗尼斯圆的定义入手,探讨了该圆的正向考察,逆向考察,与其他圆锥曲线的结合以及在立体几何中的考察.