应用线性方程组理论证明矩阵秩的性质

利用矩阵秩的定义证明矩阵秩的性质时,需要使用行列式的性质,证明过程较为复杂。线性方程组解的理论与矩阵秩的内在联系,使得用线性方程组解的理论证明矩阵秩的性质成为可能。应用线性方程组解的理论,可将矩阵秩的等式证明转化为线性方程组解空间相等的证明;将矩阵秩的不等式的证明转化为解空间包含的证明。从行列式性质法的证明转化为集合间关系的证明,不仅简化了矩阵秩的性质的证明,而且证明过程便于理解。

矩阵标准形的应用

矩阵的等价、相似与合同是矩阵之间的三种重要的等价关系,按照这三种等价关系可将矩阵作相应的分类,由此产生了矩阵的各种标准形,每种标准形都是该等价类的最简形式。当面临的问题复杂、抽象,感到无从下手之时,可尝试先对标准形解决,再根据矩阵的一些在等价、相似、合同关系下不变的性质,比如相似矩阵有相同的特征值,将一般矩阵问题转化成标准形问题处理。通过例子说明:应当运用化归思想,借助矩阵的相应标准形可以解决有关矩阵的问题。

线性变换及其矩阵表示

线性变换是一个几何概念,矩阵是一个代数概念,它们之间的关系有可能用代数的方法来研究几何问题,反过来也可以用几何的方法来研究矩阵的问题。掌握了这种方法就是掌握了线性代数的核心。文章通过一些典型例子说明,借助矩阵工具可方便解决有关线性变换的问题,反过来,利用线性变换解决某些矩阵问题往往变得比较容易。

基于计算机专业人才培养的数学教学

计算机是一种实现数学模型的机器,计算机系统是一种以数学为基础的装置,计算机科学技术的发展与数学密切相关,对计算机专业的学生进行合理的数学教育是十分必要的。计算机专业学生应掌握基本的数学知识,要认识数学的价值,要有运用数学解决问题的能力,要学会用数学思维思考问题。为了解决数学教育对于计算机专业的"专业性"与"素质性"的统一问题,解决计算机课程与数学课程的融合问题,需要对教师配备、教法研究、教材建设等方面进行特别的教学规划和设计。

有限极大前缀码的积

设A 是由有限字母表A生成的幺半群 ,A+=A \{ 1 }。A 的子集P称为A上一个前缀集 ,如果P∩PA+= 。J.Berstel,D .Perrin在 [1 ]中曾证明了命题 :设Z和Y是A 的非空有限子集 ,使得ZY是无歧义的 ,则由ZY是极大前缀码可得Z和Y都是极大前缀码。”并且提出公开问题 :此命题中积的无歧义的条件是否是必要的呢 ?”通过对此问题的探讨 ,可以给出ZY是有限极大码的必要条件 ,并且给出ZY是有限极大前缀码时Z和Y是极大前缀码的等价刻划。

近世代数教学中创新意识的培养

在科学技术迅速发展,综合国力竞争激烈的知识经济时代,社会需要具有创新精神和创新能力的创新型人才。而创新意识是创新型人才所必需具备的,创新意识的培养和开发是培养创新型人才的起点。通过教学实践,探讨近世代数教学中培养学生创新意识的途径和方法。以期通过近世代数的教学,充分挖掘学生的潜能,使学生的创新意识自然形成,使学生由知识的被动接受者成为知识的主动探究者、发现者、应用者,从而成为社会所需的创新型人才。

与一个方阵可交换的矩阵

在线性代数中,经常遇到与一个已知方阵可交换的矩阵问题。文章借助矩阵的相似标准形,对这一问题进行了探讨。利用矩阵的若当标准形,求得与一个方阵可交换的所有矩阵。利用矩阵的有理标准形,给出与方阵A可交换的矩阵只能是A的多项式的两个充分必要条件。

线性变换的值域与核互为正交补的条件

借助线性变换的核与值域的维数关系,给出有限维欧氏空间的线性变换的值域与核互为正交补的几个充分条件和充要条件.

正定矩阵的算术平方根

对正定矩阵的算术平方根的唯一性进行探讨.根据Lagrange插值多项式以及可逆矩阵的唯一分解性,用两种方法证明正定矩阵的算术平方根是唯一的,并通过实例说明正定矩阵的算术平方根的求法及应用.

关于П-正则半群的几点注记

减弱了Drazin关于完全П-正则半群的刻划中的条件，简比了Bogdanovic关于完全П-正则半群的等价刻划的证明，并给出了完全П-正则右过半群的一个等价定义．

稠密正规语言的S.Y猜想的一些等价刻划

一个语言称为正规的如果它可被一台有限自动机识别 .一个语言称为稠密的如果每个字都是该语言中某个字的一个小字 .一个非空字称为本原的 ,如果此字不是其他任一字的幂 ,否则称此非空字为非本原字 .Shyr和 Yu在 [3]中给出如下猜想 :每个稠密正规语言都包含一个非本原字 .如果能给出 S.Y猜想在半群理论及码论中的等价陈述 ,则可把稠密正规语言的问题归结为半群理论及码论中的问题 ,从而为解决 S.Y猜想提供了更多的途径 .

Ⅱ可逆半群的等价刻划

本文给出П可逆半群及两类特殊的П可逆半群的等价刻划.

系数矩阵为行最简形的线性方程组的同解性

按照从简单到复杂的认知规律,用辅助方程组法,通过讨论最简单的线性方程组,证明了“系数矩阵为行最简形的同型同解线性方程组的增广矩阵相等”.与传统的线性相关性方法比较,本文的方法是构造性的.作为推论,证明了“线性方程组同解的充要条件是增广矩阵行等价”;简化了“矩阵的行最简形矩阵的唯一性”的证明.

无限秩仿射李代数的根

Kac在(Ⅰ)中引入了无限价广义 Cartan阵的李代数,本文将对这类李代数作更进一步的讨论。

矩阵环中的理想

讨论环R上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的理想,建立环R的理想与这些环的理想之间的对应关系.并给出模n的剩余类环Zn上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的所有理想.

无限秩仿射李代数g'(A_∞)的导子代数

已经证明,特征为0的代数闭域上的有限维单李代数的导子代数与其自身同构,但对无限维的情形未必如此,本文给出无限秩仿射李代数g′(A_∞)的导子代数。

基于有限自动机的二值图像腐蚀

针对通用计算机在图像处理中串行体系结构的限制,提出适用于图像处理的一种并行体系结构,得到处理二值图像腐蚀运算的有限自动机。将图像与图像平移的并集作为状态集、探针与探针拷贝的并集作为输入字母表,用向量加减法构造状态转换映射和输出映射。分析结果表明,运算的时间复杂度从通用计算机的图像像素个数与探针像素个数之积,降低到腐蚀自动机的探针像素个数减1。

基于有限自动机的二值图像的开运算

以图像与图像平移的并集作为状态集,以探针与探针拷贝的并集作为输入字母表,用向量加减法构造状态转换映射和输出映射,给出了实现数学形态学基本运算开运算的有限自动机。与通用计算机对图像的串行处理相比,开运算自动机采取了并行结构。开运算自动机将运算的时间复杂度降低到了探针像素个数减1。

基于有限自动机的二值图像膨胀

以图像的补与图像的补的平移的并集作为状态集,以探针与探针拷贝的并集作为输入字母表,用向量加法和减法构造状态转换映射和输出映射,给出了实现数学形态学基本运算膨胀的有限自动机.与通用计算机对图像的串行处理相比较,膨胀自动机采取了并行结构,将运算的空间复杂度降低到了背景像素个数的3倍与探针像素个数的2倍之和.

基于问题解决的线性代数概念教学

概念是线性代数教学的基础,概念教学既是教学的重点,也是教学的难点.学生存在着为什么引入这些概念,为什么这样定义这些概念等疑问.教材中存在着概念引入分析不到位、概念强行引入等问题.教师作为学生与教材之间的纽带,必须按照"教师为主导,学生为主体"的教学原则,根据学生已有的知识基础,遵循"从具体到一般、从感性认识到理性认识"的认知规律,采取"探究式"教学方法,以适应"创新精神、创新意识和创新能力培养"的要求,审视概念的教学.教学实践表明,基于问题解决的线性代数概念教学是一个有效的方法.