随机分形

本文概括了随机分形的主要结果，综述了随机分形的最新进展和目前的动态，提出了一些未解决的问题。全文共分为三部分：（１）由随机过程和随机场（如Ｌｅｖｙ过程，Ｇａｕｓｓ场，自相似过程等）产生的各种随机分形集（如象集、水平集、ｋ重点集等）的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数、测度和ｐａｃｋｉｎｇ维数、测度；（２）随机Ｃａｎｔｏｒ型集和统计自相似集的维数和测度；（３）分形集（如Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉｇａｓｋｅｔ，ｎｅｓｔｆｒａｃｔａｌ等）上随机过程的构造和性质。

随机转移矩阵的随机调和函数

引进随机转移矩阵、随机调和函数、极端随机调和函数和必离集的概念,用随机调和函数给出必离集的等价描述,进而得到随机调和函数是常向量函数的一个充分条件。

随机环境中的分支过程的模型及存在性

引进随机环境中的分枝过程(连续时间参数)的模型,证明了此类过程的存在性,并证明它的一些性质,例如,随机生成母函数的性质,讨论了随机转移函数的时齐性.给出了随机半转移函数为时齐的随机半转移函数的充分必要条件,给出了随机生成母函数的迭代公式.

随机环境中的生灭过程的基本概念及存在性

引进了随机转移矩阵、随机密度矩阵及随机环境中的马氏过程的概念 ,进而引进了随机生灭q 矩阵及随机环境中的生灭过程的概念 .并且构造性地证明了随机环境中的生灭过程的存在性 .

从p—m链到随机环境中的马氏链

第一节引进了p一m链的概念,并用之构造了与它相应的随机环境中的马氏链和绕积马氏链、第二节引进了一系列与随机环境中的马氏链相关的概率特性函数,并得到了这些函数之间的一系列关系.这些结果是经典马氏链的相应结果的一般化,它们在随机环境中的马氏链的极限理论的研究中是很有用的。

关于随机环境中的马尔可夫过程的简介

该文系统地介绍随机环境中的马尔可夫过程.共4章,第一章介绍依时的随机环境中的马尔可夫链(MCTRE),包括MCTRE的存在性及等价描述;状态分类;遍历理论及不变测度;p-链的中心极限定理和不变原理.第二章介绍依时的随机环境中的马尔可夫过程(MPTRE),包括MPTRE的基本概念;随机环境中的q-过程存在唯一性;时齐的q-过程;MPTRE的构造及等价性定理.第三章介绍依时的随机环境中的分枝链(MBCRE),包括有限维的和无穷维的MBCRE的模型和基本概念;它们的灭绝概念;两极分化;增殖率等.第四章介绍依时依空的随机环境中的马尔可夫链(MCSTRE),包括MCSTRE的基本概念、构造;依时依空的随机环境中的随机徘徊(RWSTRE)的中心极限定理、不变原理.

分支随机转移矩阵的几个分析性质

引进了分支随机转移矩阵和分支随机Q矩阵的概念,证明了分支随机转移矩阵的连续性,并给出了时齐的标准的分支随机矩阵可微的充分必要条件,此外还证明了时齐的标准的分支随机矩阵之密度矩阵必是分支的随机Q矩阵.

随机次自相似集的表示

本文引进了随机次自相似集与随机推移集的概念 ,讨论了随机次自相似集的结构 ,并证明了任一随机集是随机次自相似集的充分必要条件是

统计自相似集和测度的概率特征

证明了统计自相似集和测度是由一族独立同分布的随机压缩算子｛fσ，σ∈D｝所构成的随机递归集和它的分布．此处fσ是概率空间（Ω，F，P）到con（E）的随机元，con（E）是完备可分距离空间E到E的压缩算子全体．

随机递归集研究的新进展(Ⅰ)

系统地评介有关随机递归集的概率性质，包括收敛性及可测性；分布的０－１ 律及支撑．对各类自相似性作了较详细的评介．Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ 构造了一类严自相似集，并得到了许多重要的分形性质．Ｇｒａｆ研究了一个特殊的统计自相似集的分形性质． 本文研究了各种自相似集的概率性质与分形性质．

分支随机Q过程的惟一性

引进了分支随机Q矩阵、分支随机Q过程和随机生成母函数的概念.研究了分支随机转移矩阵与随机生成母函数的关系.本文的主要结果是:在某些合理的条件下,证明了分支随机Q矩阵的随机Q过程的惟一性.

统计递归集的Hausdorff测度的上、下界

给出了由随机压缩算子生成的统计递归集的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度上、下界的估计．也就是说，在一些条件下，找出了Ｋ（ω）∩∞ｎ＝１∪ｉ∈Ｎｎ（ω）ｆ（ω）ｎ，ｉ（Ｅ）的α－维Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的上、下界，其中｛ｆｎ，ｉ，１≤ｉ，ｎ＜∞｝是一族随机压缩算子，｛Ｎｎ（ω），ｎ≥１｝是一族可数的随机指标集．

一类Lévy过程的击中概率方程式

研究了一类特殊的Levy过程——强Levy的subordinator的击中概率,得到了一个具有广泛应用价值的方程式。这种方程式,在随机分形中经常用到。

统计自相似集、测度及重随机分形

主要介绍统计自相似集合与统计自相似测度的分形理论以及重随机分形近年来的一些进展。

关于向量维Hausdorff测度

本文引进了向量维Hausdorff测度及其维向量的概念,研究了向量维Hausdorff测度的基本性质及其与经典Hausdorff测度(其维数为广义非负实数)的关系,引进两种类型的维向量,研究了它们之间的关系及其与经典Hausdorff维数的关系。

随机场的两种耦合

设 T=[0,∞)~d(d 是正整数),T=T∪{∞},(X,ρ,(?)(X))是可测度量空间,S_t 是由 X^T 到 X^T 的平移算子(t∈T),S_∞x(·)≡Δ,((?)x(·)∈X^T),Δ是 X^T 中一固定元.ξ={ξ(t),t∈T}是以 X 为相空间的随机场,亦即ξ是取值于 X^T 的随机元,D_ξ表ξ的分布.ξ^(1)(?)ξ^(2)(?)D_((?)(1)=D_((?)(2)).称ξ^(1)、ξ^(2)(可定义于不同的概率空间)依轨道可耦合,如果存在概率空间((?),(?),(?))

统计递归集中的鞅性质

主要研究了统计递归集中一些相关的随机过程是否具有鞅性质，给出了一些充分条件以保证：生成统计递归集的统计压缩算子的 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 系数和所构成的随机过程具有鞅性质

随机递归集研究的新进展(Ⅱ)

系统地评介有关随机递归集的分形性质及几何性质包括各种维数，确切测度函数，几何性质．对各类随机Ｃａｎｔｏｒ集及统计自相似性作了较详细的评介．

Sierpinski毯上的随机过程

取值于Fractal上的随机过程是随机Fractal理论的极重要组成部分。本文构造了一个取值于Sierpinski毯上的随机过程,并给出了一些相关性质。

Sierpinski毯上随机过程的自回避性马氏性及有限维联合分布

研究了一类取值于Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ毯上的随机过程，证明了它的自回避性，马氏性，并算出了它的转移函数，从而可容易地获得它的限维联合分布。