关于北京大学藏秦简《算书乙种》的综合研究

新近公布的北京大学藏秦简牍中有三种前所未知的数学著作,《算书乙种》是其中之一。本文首次对它进行系统的研究,分析其体例与编纂特点、知识类型与数学方法,以及相关的社会背景,并修正了以前学术界的若干不当认识。此书为撮编之作,结构上有一定层次,体现出编排的意图但考虑不周。作为实用算法式数学文献,此书不属于从“九数”发展至《九章算术》的经典系统,但它的内容仍为刘徽关于《九章算术》源于其先秦祖本的记载提供了新的直接证据。同时,此书也为研究秦国和秦代社会经济提供了难得的原始文献。

出土《算数书》初探

通过分析《算数书》的体例和结构，对照《算数书》 与《九章算术》，并结合其他文献和社会背景进行考察，得出以下结论：《算数书》是至少 有两个来源的撮编之书，它与《九章算术》没有直接的文本影响关系，它们在先秦可以追溯 到共同的来源，《九章算术》的主要方法产生于先秦，《算数书》是利用某种后来演变为《 九 章算术》主要来源的先秦数学著作或其衍生本的数学方法并结合下层官吏管理的实际而编成 的作品。《算数书》有助于确立先秦至秦汉实用算法式数学发展演变的历史。

刘徽的无限思想及其解释

该文包括两方面的内容。一是从无限分割过程、不可分量可积性、有限过程等几个方面重新考察了刘徽的无限思想，力图澄清此课题的研究中存在的若干误解。二是从中国古代数学传统，刘徽的思想渊源特别是他受墨家、道家和玄学思想的影响等方面，对刘徽利用无限思想处理问题的方式进行解释。

关于《算数书》、秦律和上古粮米计量单位的几个问题

对张家山汉简《算数书》的"舂粟"、"程禾"条、睡虎地秦简的《仓律》中涉及粮米比率的律文进行考察,提出了一些新的校释意见,并就有关的校勘和训诂的方法提出了自己的看法;除作为重量单位和体积单位外,石在政府仓储事务中还是一个计量粮食的特殊单位,根据粮食种类的不同而具有不同的体积.

从《算数书》和秦简看上古粮米的比率

《九章算术》、《说文解字》中关于几种粮米的记载互有异同 ,清代段玉裁等以前者校改后者 ,并认为在上古时稻和粟都可以舂出粝、、、御等一系列不同精度的米。现代学者则利用湖北云梦睡虎地出土的秦简和湖北江陵张家山出土的《算数书》对两者都有校订 ,但在后一问题上仍沿袭清儒的见解。文章在前人的基础上 ,对这些有关文献进行了新的审视 ,提出了新的校勘意见 ,指出《九章算术》和《说文解字》这两种传世文献中的错误比原来认为的要少 ,《说文解字》只有以为是后起的 ,《九章算术》只有米和饭之率是错误的 ,上古由粟、稻舂出的米分属两个不同的系列 ,不能混为一谈。《说文解字》和《九章算术》的作者都没有直接参考过《算数书》 ,后者也没有直接参考过秦简关于粮米比率的材料。

《墨经》“次”概念与不可分量

文章分四种类型详细地分析了解释《墨经》中“次 ,无间而不相撄也”、“次 ,无厚而后可”条的诸家异说之得失 ;在此基础上 ,作者提出了新的解释 ,认为此条是墨家不可分量可积观点的直接明证 ,并进而讨论了不可分量可积思想对中国古代数学方法的影响 ,以及它的历史意义。

从出土竹简看中国早期委输算题及其社会背景

考察了睡虎地汉简《算术》和《九章算术》、《张丘建算经》中的委输算题的特点,利用刘徽的《九章算术注》、岳麓书院秦简《数》、张家山汉简《算数书》等材料提出推导其术文的复原方案。并用睡虎地秦律和张家山汉简《二年律令》,探讨了这类算题的社会背景,特别是律令中的程。

秦汉量制与《九章算术》成书年代新探——基于文物考古材料的研究

论文考察了前人关于量制单位斛的使用不早于新莽的证据和论证,指出其中存在的问题,从出土文献和传世文献两个方面证明新莽以前就有斛的使用,同时也证明了一些被认为是新莽时代特有的数字表示法是早已有之的。论文还分析新莽容积(体积)计量系统的继承与变化;证明《九章算术》反映了时代更早的容积(体积)系统的特征,它很可能是斛取代石的过程中之重要一环,而新莽铜嘉量的颁行则是这一过程中的里程碑,但并非终曲。论文证明《九章算术》中石和斛分工、分别表示重量和体积(容积)很可能是耿寿昌所为,这为刘徽关于《九章算术》最后成书于耿寿昌的记载提供了新的证据。

从《算数书》盈不足问题看上古时代的盈不足方法

盈不足方法是古代数学中一项具有一般性的重要方法。通过将《算数书》和《九章算术》及其他文献结合起来,探讨它在中国上古时代的形成与流传。认为:先秦时期实际工作中经常出现某种东西过多或过少的情况,为了得到合适的数量,人们通过运用比、比例和分数的知识,找到了解决问题的盈不足方法。这种方法及其应用形成了先秦数学的一个科目——盈不足,并记载于《九章算术》在先秦的祖本中。受它直接或间接的影响,先秦到汉代的学者们根据需要设置了很多盈不足问题。《算数书》中的盈不足问题即由此而来。

从《墨子》看先秦时期的几何知识

利用《墨子》考察先秦的几何学知识不仅对研究中国早期数学史而且对了解中国思想和文化初成期的面貌有着重要的意义。文章首先分析了《墨子》中有关文献所蕴涵的几何学观念和知识,指出它们的范围、性质和特点以及在墨家整个知识系统中的位置。然后利用这些结果和有关名家的文献及上古时代的数学文献等相参照,分析当时存在的几何学知识及其基本性质和特征,并说明当时发展出相互关联的两类几何知识——注重实际应用的算法式几何知识和注重概念及其关系的理论性几何知识。后一类知识为认识古人如何从经验知识发展出抽象化、理论化的几何学提供了样本。先秦数学的多元化,与当时社会的激烈变革、思想解放、百家争鸣的大环境密切相关,是先秦学术和思想繁荣的重要组成部分。

李俨与中国古代圆周率

以李俨、严敦杰的学术通信和已发表的论著相对照 ,讨论李俨对四个有争议问题在不同时期的看法和取舍态度。这四个问题是 :(1 )刘歆的圆周率 ;(2 )《九章·圆田术注》中“晋武库”一段及圆周率3 92 71 2 50 的作者是谁 ;(3 )如何阐释《隋书·律历志》中关于量器的记载 ;(4 )祖冲之是如何得到圆周率3 551 1 3 的。李俨对这些问题的讨论 ,能反映他作为一代科学史宗师的研究思路、学术风格和嘉勉后学的长者风范。他关于史料和算理相结合的研究方法 ,对科学史研究中论点的“假定”性质的看法 ,对今天的数学史乃至科学史研究仍有意义。

中国上古时代数学门类均输新探

均输是中国古代数学的一个重要门类,数学经典《九章算术》专设第6章讨论它。前人对其渊源和它与作为经济政策的均输之关系,都多有未及或存在若干问题。文章利用更为丰富的考古文献和传世文献,对中国上古时代均输的发展进行较为系统深入的研究。文章对《九章算术》“均输”章算题的特征进行了新的概括,指出“均输”的含义比前人理解的公平负担要宽泛,“均输”章的构成具有高度的一致性,算题的列入是编者刻意为之,而非随意安排。文章证明,不论是数学上的两类均输算题还是经济上的两种均输都有先秦及秦代的渊源,现存《九章算术》“均输”章的5个均输算题和睡虎地汉简《算术》中的一个均输算题虽然都定型于西汉,但在先秦及秦代应该已有其蓝本。岳麓书院藏秦简《数》和张家山汉简《算数书》证明,“均输”章后24题中有一部分在战国到西汉初期就很可能存在,不必等到公元前1世纪由耿寿昌补入。

先秦时期时空无限思想的若干研究

本文讨论先秦时空无限思想的若干问题。道家的空间无限观更多地表现为一种境界。墨家和名家的时空无限观是一种明确的观点。《列子·天瑞》篇中“杞人忧天”一段所表现的思想，不是始于魏晋时期，亦非汉代宣夜说的流，而是汉代宣夜说和浑天说的宇宙无限思想之源。这两种宇宙观的无限宇宙思想之源是先秦时期的空间无限思想，而惠施的无限宇宙观可能是先秦时期的最值得注意的。

从岳麓书院藏秦简《数》看上古时代盈不足问题的发展

对岳麓书院藏秦简《数》中的盈不足问题进行新的校释,解决了一些疑难问题;并与《九章算术》《算数书》等相对照,研究了上古时代盈不足问题的发展.指出《数》进一步证明盈不足问题的产生可以追溯到秦代和先秦时期,《数》对《九章》盈不足问题在文本上没有直接影响,《九章》在先秦的祖本或其衍生本的盈不足方法很可能对《数》有间接或直接的影响.通过将《九章》“盈不足”章第15题及《算数书》和《数》的相关内容进行对比和分析,指出前人认为是古人错误地把此题归入“盈不足”章的观点,是不妥当的;《九章》编者在为“盈不足”章选材时具有高度的一致性.

出土《算数书》校释一则

Based on analyzing the successes and failures of the former scholars and makin g full use of the Suanshushu, Bambll strips of Qin Dynasty, Shuowenjiezi and oth er ancient documents, this article give a new and proper collation and annotatio n to “chongsu”through studying objective fact, mathematical theories and the r egularities of textual errors from different angles.

略论李俨的中算史研究

文章在前人的基础上对有关科学史家李俨的一些史实作了进一步的考订 ,讨论了李俨早期开展中算史研究的情况 ,对古算书收集的工作 ,解释了李俨重视史料的风格 ,认为李俨有一种以史料为中心的编史观 ,其特点是 :以史料为中心 ,以信史为追求目标 ,尽量以史料直接构筑历史 ,信以传信、疑以传疑 ,避免在史料之外作过多的推衍。

对一条涉及无穷大的《墨经》条文的考释──兼及与阿基米德公理的比较

《墨经》中的“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”一条，历来有多种不同的解释。本文在对这些解释进行比较详细的分析和考辨后，认为以钱宝琮的解释——（对一段距离）一尺一尺地往前量，如果量到某处，前面容不下一尺之长，则它有穷；如果无论量到什么地方，前面都还能容下一尺之长，则它是无穷的，最为精当。同时，本文还把《墨经》的这个命题与阿基米德公理作了一个初步的比较。

20世纪50年代中国科学院数学研究所数论讨论班与中国解析数论的发展

20世纪50年代,中国科学院数学研究所数论组举办讨论班训练青年研究人员。经过四五年的系统训练,培养了一支数论研究队伍,他们在解析数论尤其是哥德巴赫猜想研究上连续取得了具有国际影响的重要成就。文章考察了从1953年至1958年数学研究所数论小组的组建、学习和研究情况,探究了华罗庚领导下的数论讨论班的研究活动和学术生态,分析了华罗庚如何通过讨论班这一研习形式进行人才培养,揭示了我国解析数论研究取得重大突破的一些关键因素。

《墨经》不应为墨子所自著——从詹剑峰先生关于《墨经》四篇著作时代的论述说起

80年代以来 ,由于考古发现给对古书年代的估定带来了新的认识 ,反对《墨经》成于战国后期 ,主张《墨经》为墨子所自著的学者渐渐多起来。本文通过细致的分析 ,认定墨子自著说的各项论据皆非充分条件 ,而其中作为墨子自著《墨经》最强证据的“墨子献书楚惠王”一事 ,则因其内容与《墨经》不合而其实并无力量。据《庄子·天下》篇等材料 ,可以推定《墨经》成于墨子晚年至公元前 4世纪中叶墨家分裂以前这段时间之内。