矩阵初等变换的几何意义

矩阵的初等变换在线性代数中应用十分广泛,以初等行变换为例,分别给出了非退化的初等变换、退化的初等变换的实例与对应的几何图形,在此基础上给出了任意角度的旋转.在教学过程中,通过挖掘初等变换的几何意义,可以使学生建立代数与几何的统一观,促进学生抽象思维与形象思维协调发展.

单纯形法的复杂性与计算效率

给出了三个线性规划例子,及用单纯形法求解的过程,解释了求解线性规划的单纯形法为什么属于指数算法.

Givens矩阵的性质及其在迭代法中的应用

研究了2阶Givens矩阵的一些性质,该矩阵的特征值为复数,谱半径恰好为1;在此基础上通过多个例子展示了Givens矩阵在迭代法中的应用,并从理论上给出了分析.

数值微分中步长的选取

数值微分是求解微分方程数值解的关键,通过多个实例分析了数值微分中步长的选取原则.为了避免由两个相近的数作减法运算而带来误差,在实际计算数值微分时,取适当的步长便可以得到较好的近似结果.

两道疑难平面几何问题的解法探究

在为学科教学(数学)专业的研究生授课时,《数学解题研究——数学方法论的视角》[1]中的两道平面几何问题引起了笔者的注意.这两道平面几何问题表达简洁、图形简单,然而解决起来并不容易,是培养学生数学逻辑思维能力的良好素材.为此,笔者展开了从初中视角到高中视角的一系列证法探究,现整理成文,供参考.

理解·感悟·反思--让变式与数学教学相得益彰

变式教学作为我国数学教育的优良传统之一,旨在通过“变”突出知识的本质特征.对变式教学的背景进行了概述,并结合中学数学实例对变式教学的应用展开阐述,以期将变式教学与实际教学相结合,提高课堂教学效率,促进深度学习.

正弦余弦算法求解含有异常值的非线性数据拟合

针对非线性数据拟合问题,建立以残差的平方和与绝对值和为目标的最小二乘与最小一乘模型,采用正弦余弦算法计算模型参数.计算结果表明:如果数据的分布是对称且无异常值,则最小二乘得到的结果与最小一乘得到的结果基本一致;如果数据存在异常值,则异常值对最小二乘有着较大的影响,而对最小一乘的影响较小.

线性方程组迭代法的几何解释

以2阶矩阵为例,对线性方程组的迭代法进行了深入分析.以矩阵的特征值与谱半径作为分类原则,对迭代法的收敛或发散从几何上进行了解释,旨在加深学生从几何上理解线性方程组的迭代法.

借助数学软件验证数列的收敛性

借助MATLAB软件演示数列的收敛性.该方法比MATLAB自带的符号运算函数limit效率高,且能记录每一个n对应的数列值,并通过绘图直观展示数列是否收敛.

线性互补问题与绝对值方程的转化

给出线性互补问题与绝对值方程解存在的条件及线性互补问题与绝对值方程间的转化:包括无条件的转化和有条件的转化,并给出了线性互补问题与绝对值方程的求解方法.

几类特殊矩阵及性质

在一定条件下,研究了矩阵(A+I)^(-1)(A-I)与(A+I)(A-I)^(-1)的收敛性、正定性.分析了广义正定矩阵的一些特性,建立了判别广义正定矩阵的充要条件.给出了(A+I)(A-I)^(-1)属于广义正定矩阵的一个充分条件.

具有2^n个解的绝对值方程问题

利用矩阵的性质,得到了绝对值方程存在2^n个解的条件,并构造了一些具有2^n个解的绝对值方程.

单调线性互补问题的一种内点算法

本文研究了单调线性互补问题的一种内点算法.利用牛顿方向和中心路径方向,获得了求解单调线性互补问题的一种内点算法,并证明该算法经过多项式次迭代之后收敛到原问题的一个最优解.数值实验表明此方法是有效的.

改进的和声搜索算法求绝对值方程

绝对值方程Ax-|x|=b是一个不可微的NP-hard问题。给出一个改进的和声搜索算法,在种群更新过程中,采取"前拉后推"技巧来加速收敛;同时为了保持种群的多样性,在种群更新过程中以一定的概率在可行域内选取。实验结果表明,改进后的算法能够快速地求出绝对值方程尽可能多的解。

全局和声搜索算法求解具有2~n个解的绝对值方程

绝对值方程是一个NP-hard问题,有关多解绝对值的研究更不多见,重点研究存在2n个解的绝对值方程.首先给出了存在2n个解的条件,其次给出了一个求解算法:带有聚类的全局和声搜索算法.采用位置更新和小概率变异策略来取代经典和声搜索算法的音调微调操作,进而通过多种群多次聚类策略来寻找原问题的多个解.实验结果表明,本文算法具有较强的搜索能力,能够获得绝对值方程问题尽可能多的解.

绝对值方程的一种严格可行内点算法

给出绝对值方程的一种新算法.先把绝对值方程转化为线性互补问题,再结合牛顿方向和中心路径方向,通过求解一个线性方程组得到搜索方向.获得了求解绝对值方程的一种严格可行内点算法,并证明了该算法经过有限次迭代后收敛到原问题的一个最优解,数值实验表明方法是有效的.

约束处理技术及应用

利用绝对值函数的性质给出了一种约束处理方法:将不等式约束转化为等式约束,该转化无需增加任何参数;进而通过构造静态罚函数将原问题转化为无约束优化,采用全局和声搜索算法求解。该算法模拟了音乐创作中乐师们凭借自己的记忆,通过反复调整乐队中各乐器的音调,最终达到一个美妙的和声状态的过程;全局和声搜索算法嵌入了位置更新和小概率变异策略。求解13个带有约束的非线性规划标准测试函数,结果表明该约束处理方法是有效的。最后将该算法应用于求解伸缩绳设计优化问题。

求解互补问题的极大熵差分进化算法

针对传统算法无法获得互补问题多个最优解的困难,提出了求解互补问题的差分进化算法。首先利用NCP函数,将互补问题转换为一个非光滑方程组问题,然后用凝聚函数对其进行光滑化,进而把互补问题的求解转换为无约束优化问题,利用差分进化算法对其进行求解。该算法对目标函数的解析性质没有要求且容易实现,数值结果表明了该方法在求解互补问题中的有效性。

基于差分算子的和声搜索算法求解非线性l_1模极小化问题

针对一类目标函数非光滑的l1模极小化问题,提出了一种改进的和声搜索算法.结合差分进化算法的变异策略,用差分向量算子取代和声搜索算法的音调微调.实验结果表明,改进后的和声搜索算法能够获得原问题的全体解.

正弦余弦算法的研究及应用综述

正弦余弦算法(SCA)是一种新颖的随机优化算法,主要利用正弦函数和余弦函数的波动性与周期性来搜索和迭代,从而达到寻优目的。给出了正弦余弦算法的基本原理,讨论了影响正弦余弦算法性能的主要参数,分析了正弦余弦算法的搜索机制。综述了算法的改进策略,并列举了正弦余弦算法在调度问题、控制器优化、电力系统优化、数据挖掘、图像处理、目标跟踪等方面的应用。最后结合正弦余弦算法的特点和研究现状,对正弦余弦算法未来的研究发展方向进行了展望。