椭圆曲线 y^(2)=x^(3)+99x-460 的整数点

确定椭圆曲线的整数点是一个有趣却困难的问题。该文运用同余、递归序列等初等方法研究了椭圆曲线y^(2)=x^(3)+99x-460,确定该曲线的全部整数点为(x,y)=(4,0),(7,±24),(31,±180),(53,±392),(592,±14406)。

有限域上一类四次对角方程有理点的个数

设p为素数,k为正整数,F_(q)是q=p^(k)的有限域.用F^(*)_(q)表示F_(q)的乘法群,即F^(*)_(q)=F_(q)/{0}.设f(x_(1),…,x_(n))是F_(q)上的多项式,用N(f(x_(1),…,x_(n))=0)表示f(x_(1),x_(2),…,x_(n))=0在F_(q)上的有理点个数.1981年,Myerson给出了N(x^(4)_(1)+…+x^(4)_(n)=0)的递推公式.最近,赵等给出了N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)=c),N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)+x^(4)_(3)=c)和N(x^(4)_(1)+x^(4)_(2)+x^(4)_(3)+x^(4)_(4)=c)的精确公式,其中c∈F^(*)_(q).本文利用雅可比和以及一个类比Hasse-Davenport定理的结果给出了N(x^(4)_(1)+…+x^(4)_(n)=c)的精确公式,扩展了已有结果.

形式幂级数∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m)系数的无界性

设∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m)为Prouhet-Thue-Morse序列的生成级数.设m≥2为正整数.令F_(m)(x)=(F(x))^(m)=(∏^(∞)_(n=0)(1-x^(2^(n)))^(m):=∑^(∞)_(n=0)t_(m)(x)x^(n).2018年,Gawron,Miska和Ulas猜想:当m≥2时序列{t_(m)(n)}^(∞)_(n=1)无界.对于m=3及m=2k的情形,他们通过研究tm(n)的2-adic赋值证明猜想部分成立.本文发展了一种新方法,即由序列{tm(n)}∞n=1的递推关系式得到一类反中心对称矩阵,然后通过计算其相应矩阵的特征值来证明猜想.利用这种方法,本文证明当m=5和6时猜想成立.此外,本文还给出了序列{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)和{t_(6)(n)}^(∞)_(n=1)的无界子列,以及{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)的一个子列的2-adic赋值表达式,进而证明了另一个关于{t_(5)(n)}^(∞)_(n=1)的2-adic赋值的猜想部分成立.

有限域上简单对角多项式的D_(q)-降次与值集

用D_(q)-降次研究了有限域上简单对角多项式的值集,从而简化了原始的计算.

有限域上对角三次方程解的个数

利用Gauss和、指数和的性质,将求解方程解的个数问题转化为Gauss和问题.研究了在一个由q=p k(p为素数,k为正整数)元素构成的有限域F q上的对角三次方程x^(3)_(1)+x^(3)_(2)+…+x_(n)^(3)+y^(3)_(1)+y^(3)_(2)+…+y^(3)_(m)=0解的个数问题.令此方程解的个数为A n,m,对于任意的变量x∈F_(q),y∈F_(q)^(*)=(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m,得到了生成函数∑∞m=1∑∞n=1 A(n,m)x^(n)y^(m)的显式表达式.

抛物型奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法

该文提出了一种求解抛物型奇异摄动对流扩散方程的自适应网格算法。首先在均匀网格上利用向后欧拉格式对时间导数进行离散;然后针对空间方向,在任意的非均匀网格上构造迎风有限差分格式,并利用等分布原理设计了相应的自适应移动网格算法;此外,对所提出的自适应网格方法进行后验误差估计,并基于离散Green函数证明了该算法是一致收敛的;最后用数值实验验证了该算法的有效性。

关于商高数的Jesmanowicz猜想

本研究主要利用简单同余、二次剩余、κ次剩余、四次剩余特征理论及因式分解法,对关于不定方程a^(x)+b^(y)=c^(z)的Jesmanowicz猜想的一类特殊情形进行证明,并得到如下结论:定理对于商高数组a=n^(2)-4,b=4n,c=n^(2)+4,2×n,当n+2含有素因子p■-1(mod 16)时,Jesmanowicz猜想成立.特别地,有推论对于上述商高数组,当n■-1(mod 16)时,Jesmanowicz猜想成立.

周期pq的二阶广义分圆二元序列的自相关值分布和2-adic复杂度

对于2个不同的奇素数p和q,周期n=pq的二元广义分圆序列S=S(a,b,c)((a,b,c)∈{0,1}^(3))具有良好的自相关性质.在一些情况下,其有理想自相关或最优自相关.基于群环语言和群环R=Z[Г](Г是n阶循环群)上的二次高斯和版本,用一种统一的方法确定了所有(a,b,c)∈{0,1}^(3)时的二元序列S=S(a,b,c)的自相关值分布和2-adic复杂度.

半区间上D.H.Lehmer问题余项的一种均值

半区间上D.H.Lehmer问题余项的分布性质,有助于研究整数及其逆的分布。该文讨论了半区间上D.H.Lehmer问题余项E(a,p)在不完整区间上的一种均值分布性质。利用E(a,p)与Dirichlet L-函数的关系以及Dirichlet L-函数的一些均值性质,给出了E(a,p)一种均值的几个较强的渐近公式,结合文献[4]中的结论,可以看出这两种区间上D.H.Lehmer问题余项的相消性有显著的差异。该结果不仅扩充了半区间上D.H.Lehmer问题余项的研究内容,而且有助于该领域研究工作的进一步展开。

有限维Leavitt路代数的分次双代数结构

基于Leavitt路代数的整数分次结构,给出了具有单位元且是代数同态的余单位定义的共性:只存在一个顶点,使得余单位在此处定义为1,而在其余顶点处的定义均为0.特别地,对于有限维Leavitt路代数,满足前述共性的顶点是孤立点.构造基元处的余乘定义,证明了:有限维Leavitt路代数具有整数分次双代数结构当且仅当其底图含有孤立点.

素数幂和形式的平衡数

为了寻找递归数列中2、3、5的幂和,本文考虑形如2^(a)+3^(b)+5^(c)的平衡数。首先利用构造、取模的方法得出一个可计算的上界,再在上界范围内筛选,得出可表示为2、3、5的幂和的平衡数是6和35。

F_(p^(2r))上一类指数和的值

设p为奇质数,q=p^(n)(n∈Z^(+)),f(x)∈F_(q)[x].Wan(Journal of Systems Science and Complexity,2021,34(4):498-510.)研究了指数和S_(q)(f(x))的代数次数及周期性.特别地,陈超等(四川大学学报(自然科学版),2020,57(6):1029-1032.)证明了p≡-1(mod d)且q=p^(2)时,S_(q)(x^(d))=-p或(d-1)p.基于上述结果,讨论p≡-1(mod d)且q=p^(2r)(r∈Z^(+))时S_(q)(x^(d))的具体取值,进而利用初等的方法和技巧,得到deg S_(q)(x^(d))=1时,S_(q)(x^(d))的全部可能取值.

有限域上对角方程ax^(d)+by^(2d)=c的可解性

有限域研究中的一个重要问题是所谓的幂和问题,即在充分大的有限域F_(q)中任意元素能否表示成一个元素的d1次幂和一个元素的d2次幂之和,其中d1和d2均为正整数.设a,b∈F_(q)^(*),c∈F_(q),d为正整数.在本文中,我们利用有限域上的概率测度,Cauchy-Schwarz不等式及广义Fourier变换等工具研究了某些子集的测度,由此证明当q>(4d^(6)-4d^(5)+d^(4)+d^(2)+√d^(6)(2d-1)^(2)(4d^(4)-4d^(3)+d^(2)+2))时方程axd+by2d=c在F_(q)上恒有解.进一步,我们证明当q≠5时方程ax^(2)+by^(4)=c在F_(q)上恒有解.

一类广义Schur型多项式的不可约性(英文)

设n为一个正整数,a_(1),…,a_(n)均为整数.Schur通过素理想分解证明:当a_(n)=±1时,多项式1+a_(1)x+a_(2)x^(2)/2!+…+a_(n-1)(x^(n-1))/((n-1)!))+a_(n)x^(n)+n!是不可约多项式.随后,Coleman利用p-adic Newton多边形重新证明了Schur的结果.本文研究了一类特殊的广义Schur型多项式1+x+x^(2)/2+x^(3)/6+…+x^(p^(a))/((p^(a)(p^(a)-1))的不可约性.借助p-adic Newton多边形工具,本文基于局部整体原则证明:当p为素数,a为正整数时该多项式在有理数域上不可约.

关于椭圆曲线y^(2)=x^(3)+2357x-4722的整数点

关于椭圆曲线y^(2)=x^(3)+2357x-4722的整数点问题至今仍未解决。运用递归序列、平方剩余、二次和四次丢番图方程的相关结果以及分类讨论等初等方法,证明了椭圆曲线y^(2)=x^(3)+2357x-4722仅有整数点(x,y)=(2,0)。

二项式系数与Lucas数四次幂的一个关系

若(^(n)_(i))=n!/i!(n-i)!(n,i∈N^(*),且n≥1)表示二项式系数,第l个Lucas数是L_(l),其中l是非负整数;对任意正整数n和非负整数k,数列{(^(n)_(i))}_(i=0)^(n)和{L_(k+i)^(p)}_(i=0)^(n)的卷积为l(k,p,n)=(^(n)_(0))L_(k+i)^(p)+…+(^(n)_(n))L_(k+n)^(p)=∑_(i=0)^(n)(^(n)_(i))L_(k+i)^(p)。本文利用初等数论方法证明了p=4时,等式l(k,4,n)=3^(n)L_(4k+2n)+4(-1)^(k+n)L_(2k+n)+3×2^(n+1)成立。

有限域上三次型零点个数的p-adic估计

研究有限域上三次型零点个数的p-adic估计问题.改进了经典的Chevalley-Warning定理和Ax-Katz定理关于这类超曲面有理点的估计.

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=15y(y+1)(y+2)(y+3)

利用递归数列的方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=15y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(x,y)=(3,1),(25,12).

素理想(p)在Q(μ^(1/l))中的分解

设 Q为有理数域 ,令φ为素数 p生成的有理数域 Q的 p- adic赋值 ,r为与其相对应的赋值环 ,(p)为 r的极大理想 (素理想 ) .本文用扩张平移的方法讨论了素理想 (p)在 Q的 l次根扩张 Q(μ1 / l) (μ∈ r)中的分解问题 ,并完全解决了该问题 ,包含了文 [1

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)

运用递推序列方法,证明了不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(x,y)=(7,6).