Maass形式的傅里叶系数在算术级数中的渐近性

自守形式理论是现代数论的重要课题.自守形式的傅里叶系数蕴含了深刻的数论性质,其在数论中有许多应用.设f是本原Maass尖形式,λ_(f)(n)是它在尖点无穷远处的第n个傅里叶系数.结合经典的解析方法和一些本原自守L-函数的性质,本文研究了全模群上Maass尖形式的傅里叶系数在算术级数上的分布性质,得到了相应的渐近公式.

一类包含φ_(8)(n)的广义欧拉函数方程的可解性

根据广义欧拉函数φ_(8)(n)的准确计算公式,利用初等方法和技巧,研究当■时,方程■的正整数解(n,d),并得出其全部正整数解。

相邻自然数平方之间的可行数的个数

如果对于任意的自然数m满足1≤m≤h,m可以表示为h的某些因数的和,那么称h为可行数.文献[1]中提出了一个猜想,对于任意的自然数k≥1,存在N>0,当n>N时,在区间(n^(2),(n+1)^(2))内有k个可行数.利用文献[2]的定理9等一系列工具可以证明这一猜想.

一类华林-哥德巴赫方程的小素数解问题

华林-哥德巴赫方程的小素数解问题是堆垒素数论研究领域的重要研究课题,历来备受解析数论学者关注.本文研究一类满足必要条件的不等次幂华林-哥德巴赫方程的小素数解问题.利用标准的Hardy-Littlewood圆法和先进的Davenport方法,结合素变数三角和估计的最新成果及更加有效的Hölder不等式,得到该方程小素数解的更好上界,改进已有的研究结果.

对称幂平方L-函数Fourier系数的高次均值估计

设f(z)为全模群SL(2,Z)上权为偶数k的Hecke特征形式,L(s,sym^(2)f)为其对应的对称幂平方L-函数,λsym^(2)f(n)为对称幂平方L-函数L(s,sym^(2)f)的Fourier展开式中第n个正规化Fourier系数.本文借助Newton和Thorne近期关于函数Symjf的重要工作以及自守L-函数的亚凸界和均值估计结果,研究了λsym^(2)f(n)在四个整数平方和序列上的三次均值估计和四次均值估计,得到了均值估计的渐近公式,改进了之前的结果.

一个素数形式为p=x^(2)+y^(2)+1的的丢番图不等式

本文的目的是解决一个素数为特殊形式的六元丢番图不等式.更准确地说,令1<c<1831/1264是一个固定的实数,N是一个充分大的正数并且ε表示一个较小的正常数.我们证明了丢番图不等式|p_(1)^(c)+p_(2)^(c)+…+p_(6)^(c)-N|<ε在素变量p_(1),p_(2),…,p_(6)上有解,并且使得p_(1)=x^(2)+y^(2)+1,这时x和y为整数.

关于整数矩阵除数函数余项的二次积分均值

整数矩阵表法个数的渐近分布问题是解析数论中的重要研究课题,受到日益增长的关注.设t_(3)^((2))(n)是整数矩阵环M_(2)(Z)中形式为C=A_(1)A_(2)A_(3)且|C|=n的矩阵表法个数的求和函数,△_(2,3)^(*)(x)是关于t_(3)^((2))(n)的渐近公式中的余项.利用经典的解析方法和黎曼zeta函数的良好性质,本文研究了整数矩阵除数函数t_(3)^((2))(n)在无平方因子数集上的分布问题,并得到了余项△_(2,3)^(*)(x)的二次积分均值的上界估计.

素变量三元二次型除数函数的均值问题

在数论中,除数函数是最基础和最重要的算术函数.借助经典圆法,研究了素变量三元二次型除数函数的均值问题H(X):=∑1≤p_(1),p_(2),p_(3)≤X d(p^(2)_(1)+p^(2)_(2)+p^(2)_(3)),得到了均值估计的渐近公式,其中X是一充分大的正数,d(n)是除数函数,p1,p2,p3是素数.

Omega results for coefficients of Rankin-Selberg L-functions over sparse sequences

Ω results involving the coefficients of automorphic L-functions are important research object in analytic number theory.Let f be a primitive holomorphic cusp form.Denote by λ_(f×f)(n) the nth Fourier coefficient of Rankin-Selberg L-function L(f×f,s).This paper combines Kühleitner and Nowak′s Omega theorem and the analytic properties of Rankin-Selberg L-functions to study Omega results for coefficients of Rankin-Selberg L-functions over sparse sequences,and establishes the asymptotic formula for Σ_(n≤x)λf×f(n^(m))(m=2,3).

指数不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解

设p,q为奇素数,p<q.利用同余式和平方剩余的方法,对不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解进行了研究.证明得出:若(p,q)≡(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(3,7),(5,1),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5)(mod8),则不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)除p=3,q=5时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,4),(6,2,17)以及q=p+2,p≠3时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,p+1)外,都仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3).

特殊数在算术级数上的分布

设正整数n的素数分解为n=p_(1)^(a1)p_(2)^(a2)…p_(k)^(ak)。若所有的ai均不相同,那么称n为特殊数。特殊数是近几年提出的新概念,Aktas Kevser和Murty Ram计算了特殊数个数的渐进公式。利用Siegel-Walfisz定理、Abel求和等一系列工具可以解决特殊数在算数级数上的分布,并且在广义黎曼假设的基础上,可以缩小对模q的限制。在此基础上,未来可解决特殊数的Titchmarsh除数函数问题。

一类数论函数方程φ(φ(n))=2^(■(n))(■)(n)的可解性研究

φ(n)是欧拉函数,其中n是任意大于零的正整数,(■)(n)是n的约束函数,文章另辟蹊径,运用初等数论及不等式放缩法研究方程φ(φ(n))=2^(■)(n)(■)(n)的可解性,并给出了该方程的所有正整数解,对传统研究方法及研究结果作了相应的补充,扩大了研究视野,也为计算机科学及密码学研究提供了理论基础及方法支持.

一类二项指数和的四次幂均值

指数和C(m,n,r,s;q)的高次幂均值计算与上界估计方面的研究与诸多数论问题联系密切,例如华林问题等。设p为奇素数,关注参数n=1,指数幂r=4,s=2条件下的一类二项指数和的四次幂均值计算问题。利用解析方法,借助Dirichlet特征的奇偶性、正交性及特征和的性质,研究了形如C(m,1,4,2;p)的二项指数和的四次均值计算,给出了在素数p≡3 mod 4情况下上述二项指数和的一个精确的计算公式。同时,对于此类研究内容,该文也提出了一些有待解决的公开问题。

数论函数的分式和

利用Goswami方法讨论一类数论函数与取整函数复合的均值问题,并给出∑fn≤xf[x/n]/[x/n]≤(x→∞)的渐近公式.

关于不定方程(37n)^(x)+(684n)^(y)=(685n)^(z)的正整数解

运用初等方法证明了对任意的正整数n,丢番图方程(37n)^(x)+(684n)^(y)=(685n)^(z)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。

模素数p下整数0的二次分拆的计数

利用解析的方法以及一类模素数p的特征和的性质,研究了当p≡5(mod 6)时同余方程x_(1)^(2)+x_(2)^(2)+x_(3)^(2)+x_(4)^(2)≡0(mod p)解的个数,给出精确的计算公式。同时,研究了由4个元素所组成的模p下整数0的分拆,其中分拆中的元素均取自模p的二次剩余,将整数0的分拆共分为3类,并对每一类分拆的个数给出了精确的计算公式。

关于Smarandache kn数列及其与Smarandache LCM函数的混合均值

应用解析方法、初等方法和组合方法,研究了Smarandache kn数字数列a[k,n]与Smarandache LCM函数SL(n)的复合均值分布性质,给出了一个较强均值渐近公式;还利用初等方法研究了Smarandache kn-数字子序列无穷级数f(m,k)的收敛性。

素数之判定

提出了一个素数判定的新方法,围绕判定数N=30K+a的个位数字只有1、3、7、9四种形式,对N的判定也分四种情况进行讨论。

可替换四次理论模等式

Ramanujan在他的文章中提出了椭圆函数可替换基理论,很多研究者利用关于此理论的符号理论获得了不同的符号r理论模等式。通过将Theta函数等式与椭圆函数可替换基理论中的四次理论相结合,可以得到一些四次理论模等式。

两个整数平方和序列中傅里叶系数的变号问题

设f(z)是全模群SL(2,Z)上权为偶数k的全纯Hecke特征型,λ(n)是f(z)的第n个标准化傅里叶系数.借助L-函数均值估计和L-函数亚凸界结果,利用复变函数积分的方法,主要研究了傅里叶系数λ(n)在稀疏序列即两个整数平方和序列{λ(n):n=c^(2)+d^(2),(c≥1,d≥1)}上的符号变化问题,得到了对于足够大的x和任意小的正数1ε,序列{λ(n):n=c^(2)+d^(2),(c≥1,d≥1)}在区间(x,2x]上变号远大于x^(16/57 -ε)次的定量结果.