扩散系数Holder连续的随机微分方程的截断Euler-Maruyama方法

本文研究漂移系数超线性增长和扩散系数Holder连续的随机微分方程的截断Euler-Maruyama方法的强收敛性.研究结果显示强收敛率依赖于Holder指数.本文给出一个例子验证所得的结果.

神经网络求解系统生物学中刚性问题的研究

在系统生物学的研究中,由于所研究问题的复杂性和多尺度性,经常会遇到刚性方程的求解.而近年来,神经网络和深度学习的发展为上述问题提供了新的解决思路和方法 .本研究以经典的Belousov-Zhabotinsky(B-Z)反应和Van der Pol(VdP)方程为例,对四类非时序神经网络,包括全连接网络、残差网络、改进的残差网络和深度混合卷积网络,以及三类时序神经网络,包括循环神经网络(RNN)、长短时记忆网络(LSTM)、注意力机制进行了系统比较.实验结果表明:时序神经网络应用于刚性问题的求解精度和计算时间都大幅优于非时序神经网络,而四类非时序神经网络之间的表现并无显著差异.此外还将常微分神经网络(ODE-Net)应用于上述刚性问题,并观察到在极短的计算时间内,该方法能够达到极高的精度.本研究为应用神经网络解决系统生物学中各类刚性问题提供了参考和指导.

奇异摄动Fredholm方程积分初值问题的二阶移动网格方法

为了克服奇异摄动Fredholm积分微分方程的精确解在很薄的初始层内的剧烈变化,提出了关于摄动参数在无穷范数意义下具有二阶一致收敛性的数值方法.针对积分初值定解问题,使用基函数方法构建指数拟合有限差分格式进行离散,其中积分部分采用复合梯形公式.局部截断误差估计和稳定性分析的直接结果是整体截断误差估计.基于精确解的边界估计、应用等分布原理,作为整体误差估计的推论,数值方法的二阶一致收敛性被证明.根据算法步骤实施迭代生成移动网格,移动网格通过等分数值解弧长产生,弧长由控制函数计算,控制函数取自整体误差估计的具体表达形式.两个数值算例验证了二阶一致收敛性,比较实验表明移动网格较Shishkin网格与Bakhvalov网格具有优越性.

三级Runge-Kutta方法阶条件的推导

Runge-Kutta(RK)方法是数值求解常微分方程的基本方法,也是构造高阶单步法的重要途径.实际计算中具有构造思路简单、计算高效等优点.然而,这类方法在构造时涉及到多变量复合函数的高阶微分运算,运算起来非常复杂.几乎所有的计算方法教材、专著都只给出方法的构造思想,同时给出几个常用的RK方法,很少讨论高阶方法的构造过程和相关细节,初学者学起来非常吃力,不能彻底理解RK方法.基于此,本文给出三级RK方法的构造过程,从而彻底理解方法的构造思想.最后通过一些例子来检验.

高阶Haar小波方法求解一类Caputo-Fabrizio分数阶微分方程

利用高阶Haar小波配置法求解了一类Caputo-Fabrizio分数阶微分方程。通过Caputo-Fabrizio分数阶积分将原方程转化为等价的二阶常微分方程,再结合高阶Haar小波配置法将得到的常微分方程化为线性代数方程组进行求解。数值实验表明,使用很小的尺度J可以得到满意的数值精度,且增加尺度J可以获得更高精度的数值解,该算法稳定,具有一定的应用价值。

常微分方程的数值求解与方法

针对各种微分方程数值求解的方法,如有限差分法、有限元法等方法,在求解微分方程时存在计算存储量、计算时间等都随着微分方程维数的增加而剧烈增长的问题,严重制约了高维问题的求解。神经网络因其能够无限逼近任意非线性函数的特性,为求解微分方程提供了一种新的思路。通过神经网络训练,得到微分方程的近似解是连续函数,且具有足够的精度,因此可以得到解的任意阶导数。该方法的优势在于当问题维数增大时,计算量和存储量增加相对较小,可以克服维数灾难求解高维问题;同时,具有良好的泛化性和求解复杂区域问题的能力。提出一种求解微分方程的神经网络方法,即通过物理约束耦合神经网络的方法。通过数值算例说明,神经网络方法在求解微分方程问题上有高效率、很好的泛化等优点,能够保证优化算法的收敛性,且近似解具有足够的精度,为微分方程求解提供了一种有效的途径。

基于自适应LADRC的无人机编队控制

为了提高无人机编队控制系统适应飞行过程中外部气动干扰的能力,准确地完成无人机编队飞行任务,提出了一种基于自适应线性自抗扰(Linear active disturbances rejection controller,LADRC)的无人机编队控制方法。该方法在推导无人机编队动力学模型并证明观测器和控制器收敛的基础上展开,利用观测器估计编队飞行外部扰动,并使用线性状态反馈控制器在补偿外部扰动的同时实现时变的无人机编队控制。针对三架无人机组成的编队,数值仿真验证了在具有强烈外部气动干扰情况下的所提出的自适应LADRC有效性,根据仿真结果,自适应LADRC在鲁棒性与控制精度上比传统LADRC方法具备更好的控制效果。

考虑初始条件的结构振动方程的频域算法

为了在离散频域内求出由非零初始条件与外加荷载共同作用引起的结构的动力响应,基于傅里叶变换(FT)和有限差分公式,推导出了狄拉克δ函数及其一阶导数的离散傅里叶变换(DFT),构建了一类新频域算法.利用这一算法,有效克服了传统的频域算法中由非零初始位移导致的动力响应数值发散.用三个数值算例来研究算法性能,分别是单自由度(SDOF)线性系统、4000个自由度的桁架结构、顶端具有集中质量的悬臂梁;它们均具有非零初始位移和初始速度.计算结果表明:改进后的频域算法与传统的数值算法算得的结果一致,且精度与效率更高,适用于求解各种类型的线性结构振动的动力响应.

二维奇异摄动对流扩散方程的自适应移动网格算法

针对二维奇异摄动对流扩散方程,在任意网格下给出了经典的迎风有限差分格式.利用二元多项式插值技术,推导出一阶最大范数的后验误差估计,并以此设计了一个自适应网格生成算法.数值实验表明本文构造的自适应移动网格算法是有效的.

一种求解二阶常微分方程近似解的P-SVM方法

微分方程的计算求解在计算机工程上有重要的理论意义和应用价值。针对传统数值解法计算复杂度高、解的形式离散等问题,本文基于微分方程的回归方程观点与解法,应用统计回归方法求解二阶常微分方程,并给出基于中心支持向量机(proximal support vector machine,P-SVM)在常微分方程的初值和边值问题上的近似解求法。通过在目标优化函数中添加偏置项,构建P-SVM回归模型,从而避免大规模求解线性方程组,得到结构简洁的最优解表达式。模型通过最小化训练样本点的均方误差和,在保证精度的同时,有效提高了近似解的计算速度。此外,形式简洁固定的解析解表达式也便于在实际应用中进行定性分析和性质研究。数值试验结果验证了P-SVM方法是一种高效可行的常微分方程求解方法。

Banach空间中复合刚性Volterra泛函微分方程隐显Euler方法的稳定性分析

刚性泛函微分方程数值方法的研究大多是在内积空间中基于单边Lipschitz常数具有适度大小的条件下进行;然而对于某些刚性问题,其单边Lipschitz常数却不可避免地取非常巨大的正值。因此有必要突破内积空间和单边Lipschitz常数的限制,直接在Banach空间中探讨相应的数值方法。针对Banach空间中的非线性复合刚性Volterra泛函微分方程,对其非刚性部分采用显式Euler方法求解,刚性部分采用隐式Euler方法求解,得到了求解该问题的隐显Euler方法,论证了方法的稳定性和渐近稳定性。数值试验结果验证了所获理论的正确性。

带间断系数的奇异摄动对流扩散方程的自适应移动网格方法

文中研究了一类带间断系数的奇异摄动对流扩散方程的自适应移动网格算法.首先,给出了连续解及其导数的估计.在任意网格下建立了相应的迎风有限差分格式,并给出了相应的先验误差估计.然后,基于该先验误差估计,设计出一个自适应网格生成算法,并证明了该算法是一阶一致收敛的.最后的数值结果验证了算法的理论结果.

声波对悬浮PM_(2.5)作用的数值研究

采用数值方法对平面声波场中悬浮PM2.5的受力进行了研究,探讨了在声波作用下PM2.5的运动速度与运动轨迹,为采用声波脱除PM2.5的可能性做了机理上的探讨。研究结果发现,在声音频率10000Hz、声强度为1W/m2 条件下,声波对空气中悬浮PM2.5有显著作用,悬浮PM2.5在声场中作周期性变速运动,其运动方向和轨迹与PM2.5在声场中的初始位置有重要关系,存在顺声波而下、逆声波而上和原地振动不同情况。

甲烷-煤尘爆炸波与障碍物相互作用的数值研究

为了探讨煤矿瓦斯和煤尘爆炸的物理机制 ,基于对甲烷和煤尘爆炸传播的理论分析 ,采用数值模拟方法研究障碍物对甲烷和煤尘爆炸传播的影响 ;为了更系统地考虑颗粒相各种输运特性、相间滑移和耦合 ,采用双流体模型建立了数学模型 ,该模型的出发点是把颗粒群和气体都作为连续介质 ,两者相互渗透充满整个空间形成没有间隙的“流体”———拟流体 ,在欧拉坐标系下考虑气 -固两相流动 ,气相和颗粒相的计算网格统一 ,易于处理。数值方法采用LU分解和迎风TVD格式分别处理对流项的隐式和显式部分 ,扩散项采用中心差分 ;同时研究了不同形状的障碍物对流场的影响 。

带有扰动副螺棱的单螺杆挤出机内混沌混合

提出一种采用副螺棱轴向往复运动来提高单螺杆挤出机混合的结构,探讨不同扰动幅度对螺槽内混合的影响。建立扰动副螺棱作用下三维周期性物理模型和相应的数学模型,对挤出机内牛顿流体三维周期性流动和混合过程进行计算。采用有限体积方法,变量分布采用交错网格,副螺棱的周期性运动边界通过叠加网格方式实现。采用4阶Runge-Kutta方法实现流体运动前锋追踪计算,对比Poincaré截面,得到示踪剂空间构型演变及界面增长。结果表明,副螺棱往复运动将导致螺槽内部的混沌混合区域围绕内部KAM管,并被外部准周期运动区域包围。处于混沌区域的流体界面呈现指数增长规律,而处于准周期运动的区域界面随时间仍然保持线性增长。副螺棱扰动幅度越大,内部准周期混合区域越小,混沌场覆盖的尺度越大。

数值预报模式动力框架发展的若干问题综述

作者就大气数值模式动力框架发展的几个问题做了回顾和展望。关于模式地形的处理 ,讨论了“地形追随” (terrain following)坐标和“台阶地形” (step mountain) η坐标的优点、问题和对策。关于物理量守恒格式的构造 ,回顾了从“瞬时”守恒到隐式、显示和半隐式完全 (包括时间离散 )守恒格式的发展和近况 ,介绍了加速非线性全隐式问题迭代收敛的途径。还讨论了半拉格朗日守恒格式的构造问题。最后 ,对目前广泛使用的全球谱模式 ,讨论了其长处、局限和发展前景 ,并简单介绍了谱元方法。

多体系统动力学微分/代数方程组数值方法

多体系统动力学微分/代数混合方程组又称 EuIer-Lagrange 方程,是近十年来动力学和计算数学领域研究的热点之一.本文对这两个领域中引入的传统的数值积分方法与新的理论做了介绍.

深水时域格林函数的实用数值计算

如何精确而又快速地计算时域格林函数及其导数是求解船舶水动力问题的关键。论文基于Bessel函数的性质推导了深水格林函数及其导数所满足的常微分方程,提出了结合求解常微分方程的节点制表、节点间插值的快速计算格林函数的方法。数值计算表明该计算方法克服前人节点制表节点间插值计算方法的缺点,提高了格林函数的计算效率和数值精度。

常微分方程组的演化建模

利用演化算法的自适应、自组织、自学习的特性，设计了遗传程序设计与遗传算法相嵌套的常微分方程组混合演化建模算法，以遗传程序设计优化模型结构，以遗传算法优化模型参数，首次实现了常微分方程组建模过程自动化并可进行有效的预测．数值实验表明：采用这种算法能在较短的运行时间和较小的演化代数内搜索到多个较优的常微分方程组模型。

非线性动力系统线性模型数值计算的Taylor变换法

将非线性动力系统化为连续变化的线性系统,并导出任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程,该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为.进一步采用Taylor变换法求解系统的线性化方程,得到一种非线性动力系统数值计算的新方法,避免了指数矩阵展开的乘积运算.计算实例表明该方法在不增加计算机时的前提下,精度高于传统的Houbolt,Wilson-θ及Newmark-β等方法.计算了Duffing方程和van Pol方程的混沌及周期特性.