Pseudo-Smarandache-Squarefree函数及其它的均值

对于任意正整数n,Pseudo-Smarandache-Squarefree函数Zw(n)定义为Zw(n)=min{m:n|mn,m∈N}.应用初等方法研究Zw(n)的值的分布性质,并给出两个较强的渐进公式.

一个包含Smarandache函数S(n)和Z_1(n)的方程及其整数解

对任意正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为S(n)=min{m:m∈N,n|m!},而伪Smarandache函数Z1(n)定义为Z1(n)=min{m:m∈N,n|12+22+…+m2}.研究方程Z1(n)+1=S(n)的可解性,并利用初等方法得到了该方程的所有正整数解,同时也给出了所有解的具体表示形式.

一个包含两个Smarandache函数的方程及其正整数解

研究两个包含Smarandache LCM函数SL(n)及伪Smarandache函数Z(n)方程的可解性,即方程Z(n)=SL(n),Z(n)+1=SL(n),利用初等及解析方法获得了该方程的所有正整数解,证明了下面两个结论:(1)对任意正整数n>1,方程Z(n)=SL(n)有正整数解当且仅当n=pa.m,其中p为奇素数,a≥1及m为(p^a+1)/2的任意大于1的因数;(2)对任意正整数n>1,方程Z(n)+1=SL(n)有正整数解当且仅当n=pa.m,其中p为奇素数,a≥1及m为(p^a-1)/2的任意因数。

Smarandache LCM函数与伪Smarandache函数的混合均值

利用初等及解析的方法,研究了Smarandache LCM函数sl(n)与伪Smarandache函数z(n)的混合均值,并得到了一个渐近公式。

一个包含Z(n)和D(n)函数的方程及其它的正整数解

对于任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m使得n|m(m+1)/2.而数论函数D(n)定义为最小的正整数m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m),其中d(n)为Dirichlet除数函数.本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含伪Smarandache函数Z(n)和数论函数D(n)的方程2Z(n)=D(n)的可解性,并获得了该方程的所有正整数解.

关于伪Smarandache对偶函数Z＊（n）的性质

对于任意正整数n，伪Smarandache对偶函数Z＊（n）定义为最大正整数m使得m（m＋1）/2｜n。即Z＊（n）=max{m：（m＋1）/2｜n,m∈N}。利用初等方法及解析方法研究下列两个问题：（1）数列｜Z＊（n＋1）-Z＊（n）｜是否有界？（2）级数∞/∑/n=1/Z＊（n）/n_5收敛还是发散？得到如下结论：（1）数列｜Z＊（n＋1）-Z＊（n）｜是无界的；（2）当s＜1时，级数∞/∑/n=1/Z＊（n）/n_5发散；当s＞3/2时，级数∞/∑/n=1/Z＊（n）/n_5收敛。

关于伪Smarandache无平方因子函数Zw（n）及Smarandache函数S（n）的混合均值

为了研究伪Smarandache无平方因子函数Zw（n）及Smarandache函数S（n）的性质，采用解析方法研究它们的混合均值∑Zw（S（n））和∑S（n）Zw（n），得到两个较强的渐近公式，两个渐近公式对研究函数Zw（n）及S（n）的值的分布问题具有一定的学术意义。

伪Smarandache无平方因子函数与D(n)函数的混合均值

伪Smarandache无平方因子函数Z_w(n)的定义为有最小的正整数m使得n|m^n,即有Z_w(n)=min{m:n|m^n,m∈N}.而数论函数D(n)的定义为存在最小正整数m使得n|d(1)d(2)d(3)…d(m)(d(n)为Dirichlet除数函数),即D(n)=min{m:n|d(i),m∈N}.本文利用初等和解析方法研究这两个函数的混合均值问题,并给出其两个渐近公式.同时通过前人的结论提出猜想,最后推广了定理2的结论.

与多个数论函数相关的复合函数方程解的存在性

对一个由Smarandache函数S(n)、伪Smarandache函数Z(n)、另一个F.Smarandache可乘函数S(n)和简数根函数sim(n)复合的数论函数方程Z(S(n))=S(sim(n))解的存在性进行研究.利用初等和解析等方法与技巧,首先借助简数根函数的定义和特性进行系统的分类,避免可能解出现重叠或遗漏现象,再结合Excel软件中的简单函数编程对所有可能的解进行数据筛选,最终发现该方程具有有限个解,并通过多种表达方式对方程所有解进行了表示.同时,在研究过程中,为后续选题、研究同一类由多个数论函数复合的方程,以及出现存在多个解的情况并对其进行表达方式简化等相关问题提供了很好的思路,并给出了关于简数根函数的几个新的运算性质以及一些简便地计算方法.

与三个数论函数有关的一类复合方程的可解性

利用初等和解析的方法与技巧,研究了一类包含了伪Smarandache函数Z(n)、简数根函数与p次幂原数函数Sp(n)的复合数论函数方程的可解性,分别得到了每个方程的全部解,并推广了一个关于计算p次幂原数函数Sp(n)值在n>p时,更加简易的计算公式以及证明该公式所用的方法.