大概念视角下的初中数学单元教学实践——以“解分式方程”为例

单元整体教学引发学生深度学习,发展数学核心素养。以“解分式方程”为例,以方程单元大概念为锚点,夯实情境引方程,培养思维普适性;多种思路解方程,培养思维创新性;建模型理方程,培养思维深刻性;变式训练固方程,培养思维系统性,让学生深刻理解教学内容所蕴含的大概念,从而提升学生的思维品质。

巧用分式方程的解求字母的值或取值范围

分式方程是中考的必考内容之一,考试题型中常会出现己知某分式方程的解的情况(比如有无解,有无增根,解的正负等),求另一个字母的值或取值范围,如果对分式方程的解的情况分析不透彻,常会有错解、多解或漏解的情况发生,下面举例归纳考题的常见四种类型,希望能够帮助同学们熟练掌握此类易错题.

剖析含参分式方程的无解问题

分式方程是方程中重要的组成部分,其中含参的分式方程是各类考试的热点问题.这类题目一般设置成:分式方程含有除未知数外的其他字母(即参数),根据解的情况求参数的值或取值范围.本文分类剖析一类含参的分式方程无解(或只有一解)的解题策略.通过在等式两边乘以最简公分母,转换为含参的整式方程后再进行求解.含参的整式方程有不同的类型,采取的策略也不尽相同.

多角度运用换元法求解分式方程

解分式方程的常规方法是去分母或通分,但对一些特殊的分式方程往往不能奏效,换元法对此类分式方程能大显身手.本文列举三例分式方程,从多角度换元并进行求解.

浅析分式方程中的无解与增根

分式方程的无解与增根是求解分式方程过程中经常遇到的两种情况.许多学生对概念的把握并不清楚,经常混淆.对于这两种情况,解题的方法也有所不同.本文结合几道例题谈对两者的差异并分析不同情形问题的解法,以求抛砖引玉.

紧扣分式方程 发展模型思想

模型思想是数学基本思想之一,教师在初中数学教学中渗透模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.通过培养学生的模型思想,可以进一步发展其数学学科核心素养,有利于培养学生的数学应用能力和创新意识,激发学生的学习兴趣,学会用数学的眼光看待生活.基于模型思想的内涵,以分式方程的应用为例进行教学设计,展示初中数学教学中融入模型思想的方法和步骤,并从创设现实情境、聚焦探索活动、创造性思维三方面分析如何在分式方程教学中渗透模型思想,更好地提高教学质量.

立足新课标,培养学生核心素养——以初中数学“分式方程”新课教学为例

本文以人教版八年级上册“分式方程”(第1课时)的教学设计为例,立足新课标,从教材内容和学生学情出发,紧扣方程大概念脉络,预设一系列问题,启发学生自主发现分式方程的求解方法,探索数学概念教学策略,以此推动初中数学课堂教学的优化改革,培养的学生核心素养。

结构化设计实际问题,助力等量关系的分析——《分式方程的应用》教学与思考

《分式方程的应用》一课教学的重点是引导学生分析实际问题中的等量关系,列出分式方程。对此,可基于苏科版教材给出的三道例题中数量关系的本质(相应的式子结构),结构化地设计例题来组织教学:让学生利用一元一次方程解决实际问题,从而在新旧对比中把握数量关系的本质;让学生根据分式方程编制实际问题,从而在正逆转换中巩固数量关系的本质;让学生解决条件更多、条件关系更不清晰的实际问题,从而在复杂关系中体会直观工具的价值。

让问题留白式呈现,培养学生概括能力——以一类“分式方程应用题”教学为例

人教版八年级教材在分式方程学习的最后,安排了一类“特殊”的分式方程的应用问题,这类应用问题中除了要设出的未知数x之外,还含有其它的字母表示一些已知数.这类问题在探究规律或其它学科(如物理)的公式探究与运用中也比较常见,将问题与变式“留白式”呈现,能够培养学生的概括能力,促进学生深刻理解并掌握这类问题的解题策略.

整体观念下类比与归纳在方程教学中的运用——以“分式方程(1)”为例

整体观念下的类比与归纳需要站在系统角度思考,类比教学手段有利于学生归纳.研究者在执教“分式方程(1)”一课时,将分式方程与整式方程进行类比,寻找相同点,剥离差异点,借助知识的传承、关联和生长,通过剖析概念要素、研究解法算理、优化思维导图、搭建学习导图组织教学.

“可化为一元一次方程的分式方程”:按五项原则融入数学史

通过融入数学史来设计“可化为一元一次方程的分式方程”的教学：在课堂引入部分,首先通过附加式运用数学史,讲述中世纪数学家斐波那契的故事,通过加入人的元素,体现趣味性原则;然后通过顺应式运用数学史,呈现《计算之书》中原题的改编,通过一元一次方程问题的过渡,满足科学性、有效性、可学性原则。在学生对所遇到的增根现象感到疑惑时,通过附加式运用数学史,介绍增根的发生、发展过程,让学生了解数学活动的本质。在课堂总结环节,设计了一个“穿越时空”的古今对话,凸显了新颖性。

强化数学思辨 凸显内在关联 提升核心素养——以分式方程有增根和无解为例

解分式方程时，我们常常会碰到两种情况：增根和无解．分式方程的增根是在把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．而分式方程无解则是方程本身就是一个矛盾的等式，不论未知数取何值，都无法使得这个方程两边的值相等．“增根”和“无解”是两个不同的概念，但对于初学者来说往往难以区分．在分式方程的教学中，

基于问题驱动与价值引领的课堂教学——沪科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”观课有感

2016年11月,笔者有幸参加了第三届全国基础教育课程教学改革研讨暨上海中小学课堂教学观摩会,会议主题是＂关注课堂对话,促进数学理解,彰显育人价值＂.上海市风华初级中学樊允朴老师为活动开设了一节题为＂可以化成一元一次方程的分式方程＂的观摩课,课堂在给我们带来海派教学新风的同时,也引发了笔者深层次的思考.本文结合课堂实录,谈谈如何在问题驱动、价值引领下开展数学课堂教学活动的思考.

分式方程增根问题的讨论

当m=3时，原分式方程有增根． 上述两题的提法及解法都存在问题．我们先来探讨分式方程的增根是怎样产生的． 解分式方程时．通常在分式方程的两边乘以分式方程中各分母的最简公分母，从而达到去分母．把分式方程化为整式方程的目的．再解整式方程，求出整式方程的解．最后检验整式方程的解是不是原分式方程的解．一般是将整式方程的解代人最简公分母，如果最简公分母的值不为O，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为O，则这个解只是整式方程的解，不是分式方程的解，对于分式方程来说，这个解就是增根．

对“有增根”类分式方程改进命题解法的质疑——兼与罗峻老师商榷

《中学数学》（初中版）2013年第5期刊登了罗峻老师的文章《中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论》（下称文1），笔者拜读后受益匪浅，被罗峻老师严谨的治学精神和对数学问题敢于质疑的精神所感动．

让“数学思想”在课堂处处绽放光彩——一堂市级公开课《分式方程》的教学设计

一、对教学背景的理解教材分析：本节课是苏科版教材八年级第八章《分式》的第五节《分式方程》第一课时内容．分式方程是初中阶段“数与代数”体系中方程部分的重要内容，课本在编排时注重螺旋式的上升，从整式方程到分式方程的过渡．本节课的学习是建立方程思想的一个重要过程，只有正确地理解和掌握整式方程的相关知识才能学好分式方程．因此，分式方程的研究综合了前面学习过的整式方程的知识，同时又为后继的内容做了奠基，起到了承前启后的作用．

学生不按运算法则解题,运算法则还要教吗?——以“解分式方程”为例看数学运算中的深度学习及其实践着力点

课堂教学中经常有学生不按运算法则所强调的"规范解法"解分式方程,这也是数学运算中常见的现象.数学运算法则课深度学习的价值在于让学生经历法则的提炼过程,感受法则程序性解决问题的思维价值,从而发展学生数学运算的核心素养.数学运算深度学习的着力点是在深切体验中透析算理,在深刻理解中提炼算法,在深入思维中优化策略.

分式方程惟一解错解剖析

对于分式方程有惟一解问题,往往由于忽略有增根的情况而导致错误.求解时,应分情况讨论进行.现举例说明如下.

分式方程惟一解错解剖析

对于分式方程有惟一解问题,由于忽略有增根的多种情况而出现错误.求解时,应分情况讨论进行,现举例说明如下. 问题a为何值时,关于x的方程x/（x-2）＋x＋1/（x-3）＋2x＋a/（（x-2）（x-3））=0有惟一解,并求出方程的惟一解.

分式方程的解法探究

本文通过方程的定义域、同解变形探讨分式方程的求解思想方法,为解分式方程另辟蹊径.与现行教材求解分式方程的基本方法形成鲜明的对比,有助于学生对增根、失根概念的认知.