由正切半角公式引发的问题与思考

1问题背景 为研究高中新课改，学院派赵思林到内江六中工作一年，主要工作是全程参加该中学的数学各年级教研活动、听课、上课、指导青年教师、研究新课改等．在听课的过程中，既获得了中学教学经验，也发现了一些问题，更引发了不少思考．比如，笔者在听“简单的三角恒等变换”一节时，既发现了问题，也引发了一些思考．

焦点三角形的一个半角公式及其应用

焦点三角形是一个很重要的几何量,它可与许多知识有机地结合编拟出丰富多彩的题型,成为高考和竞赛的热点,故在教学中值得我们进一步总结和研究.为此,中数报刊中已有许多文章介绍了它的一些性质与应用.本文再介绍一个简洁、有趣且有用的性质,供读者参考.定理设椭圓C_1:b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2(a>b>0)和双曲线C_2:b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2(a>0,6>0)的左、右焦点为F_1(-c,0)、F_2(c,0),P是C_1或C_2上任一点,若|PF_1|·|PF_2|=λ,∠F_1PF_2=θ。

半角公式的意外证明(高一、高二、高三)

近日研究几道数学和物理问题时，发现了半角公式tan2/α=sinα/1+cosα有别于课本的两种“意外证明”方法．下面写出来与大家共同欣赏。

半角公式的教学

半角公式是用单角的三角函数表示半角的三角函数,一般是指半角的正弦、余弦和正切。

例谈应用半角公式解题时应注意的两个问题

半角公式是高中数学中非常重要的一个公式,它应用广泛,变化灵活,是各类考试经常考查的重点与热点内容之一.在应用半角公式解题时,应该特别注意以下的两个问题.

平行四边形定则与半角公式

平行四边形定则是矢量运算的基本法则，在中学物理中有着广泛的运用．运用平行四边形定则可以较为方便证出半角公式．证明过程如下：

半角公式的应用

1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=（1-135°/1+135°）1/2=（1+cos45°/1-45°）1/2 =（（1+cos45°）2/sin245°）1/2=（1+cos45°）/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(21/2/2)/1-21/2/2=21/2+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=（1+45°）/sin45° =(1+21/2/2)/21/2/2=21/2+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=（1-cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）求值比较方便,特别用tgα/2=（1-cosα）/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±（1-cosα/1+cosα）1/2求值好些。

妙用半角公式解数列题

半角公式是三角变换中非常重要的公式,在三角函数求值和恒等变换中具有不可替代的作用.同样,在数列解题中,只要我们认真分析数列递推公式的结构特征,运用半角公式,有针对性的巧妙换元,就可迅速捕捉解题思路,立竿见影,妙趣天成.

巧用半角公式求α/2角的象限

巧用半角公式求α/２角的象限刘宝文（江苏省运河师范学校２２１３００）已知ａ角的象限，如何求得角的象限，贵刊９５年第１期介绍了一种新颖且直观的方法，读后受益匪浅．本短文将介绍另一种不依赖于象限角概念的简洁求法，当ａ为第二、三、四象限角时，同理可得角的象?..

利用半角公式求α/2角的象限

已知a角的象限,求a/2角的象限,我在教学中介绍如下一种简洁的求法。 ∵tga/2=1-cosa/sina,即tga/2·sina=1-cosa,又1-cosa≥0,∴tga/2与sina同号。∴当a为第一象限角时,有sina】0,即tga/2】0,

由半角公式根号前的符号约定所引发的思考

高中《代数》上册(必修)(人民教育出版社)第220～221页,由余弦的二倍角公式推导出半角公式,sinα=±((1-cosα)/2)^(1/2),cosα=±((1+cosα)/2~)(1/2),tan(α/2)=±((1-cosα)/(1+cosα))^(1/2).接着写了下面一段约定:“这三个公式根号前的符号,

三角形的一个半角公式及其应用

在教学中,笔者发现了三角形的一个半角公式,并发现它们在解题中若能巧妙应用,往往可以达到事半功倍的效果.设ΔABC的三边分别为a,b,c,外接圆和内切圆的半径分别为R,r,面积和半周长分别为S和p,则有.

利用特殊图形记忆半角公式

如图1,C为以AB为直径的半圆周上一点.CD⊥AB,D为垂足.O为圆心,连OC,设∠BOC=α,则∠BAC=∠BCD=(α)/(2).又设圆的半径为1,则DC=sin α,OD=cos α.由射影定理得:

妙用半角公式巧解数列问题

半角公式是三角变换中非常重要的公式,在三角函数求值和恒等变换中具有不可替代的作用.同样,在数列解题中,只要我们认真分析数列递推公式的结构特征,运用半角公式,有针对性的巧妙换元,就可迅速捕捉解题思路,立竿见影,妙趣天成.

倍半角公式的一个应用

本文主要利用三角函数的倍半角公式和一元三次方程的求根公式对于 2πn ,0 < n ≤ 10 ( n ∈ Z )的余弦值进行了讨论,并证明了 cos 2πn(n=7,9 时)不能被表示成 p q 3 r的形式,其中p,q,r∈ Q。

半角公式的几何推导

如图：AC是圆O的切线，BC⊥AC，BD⊥OA。

几何视角下的半角公式

1.引言半角公式是三角变换中非常重要的公式,其在三角函数求值和恒等变换中具有不可替代的作用。《普通高中数学课程标准》(2017年版2020修订)指出,要求学生运用已有三角恒等变换公式推导出半角公式此外,在三角恒等变换的教学中,可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式[1]。

三角形中的半角正切公式及其应用

一、三角形中的半角正切公式在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,面积为 S,则tan A/2=(a^2-(b-c)~2)/4S;tan B/2=(b^2-(a-c)~2)/4S;tan C/2=(c^2-(a-b)~2)/4S.证明:由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b-c)~2+2bc(1-cosA),∴a^2-(b-c)~2=2bc(1-cosA).(1)又 S=1/2 bcsinA,(2)(1)÷(2)

三角形中的半角正切公式及其应用

1 三角形中的半角正切公式△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,面积为S,则tan(A/2)=((a^2-((b-c)~2))/(4S));tan(B/2)=((b^2-((a-c)~2))/(4S)); tan(C/2)=((c^2-((a-b)~2))/(4S)).