从一条错误的数学定理看丢番图研究的严谨性(Ⅰ)

国内正流传着的一本称之为《丢番图方程引论》的著作,第七章§2（P281）中给出的定理13及推论全文如下“设Pell方程u2-Dv2=1的基本解ε=u0+u0D1/2满足u0=1（mod 4）,（v0/u0）=-1,则方程（1）无正整数解.（注（1）即方程x2-Dy4=1）证 如果（1）有正整数解。

关于方程my(y+1)(y+2)(y+3)=nx(x+1)(x+2)(x+3)

证明了以下两个定理： １．设ｍ， ｎ是两个互素的正整数，ｍ是完全平方数，ｎ＝ｐ２ｋ，ｐ 是素数，ｋ是正整数，则题目中的方程无正整数解；２．设ｐ是素数，则方程ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３） ＝ｐ２ｎ０ｘ２ｎ１－１（ｘ＋１）２ｎ２－１（ｘ＋１）２ｎ２－１（ｘ＋２）２ｎ３－１（ｘ＋３）２ｎ－１没有正整数解ｘ，ｙ，ｎｉ（ｉ＝０，１，…，４）。

关于丢番图方程x^2+y^8=z^3

利用初等方法,讨论了四次丢番图方程X^4+3Y^4=Z^2的可解性,并且证明了丢番图方程x^2+y^8=z^3仅有正整数解(x,y,z)=(1549034,33,15613).

关于Pell方程x^(2)-(a^(2)b^(2)c^(2)±2ab)y^(2)=1与y^(2)-pz 2=c^(2)的公解

利用四次丢番图方程的性质,证明了Pell方程组x^(2)-(a^(2)b^(2)c^(2)±2ab)y^(2)=1与y^(2)-pz^(2)=c^(2)有正整数解当且仅当存在正整数f,g使得abc^(2)=f 22-λ/2和f^(2)-pg^(2)=2λ,其中λ=±1.此时该方程组的全部正整数解为(x,y,z)=(2a^(2)b^(2)c^(4)±4abc^(2)+1,2c(abc^(2)±1),cfg).

关于丢番图方程X^2+4Y^4=pZ^4

设p为素数,p=4A^2+1+2|A,A∈N^*.运用二次和四次丢番图方程的结果证明了方程G:X^2+4Y^4=pZ^4,gcd(X,Y,Z)=1,除开正整数解(X,Y,Z)=(1,A,1)外,当A≡1(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|p(a^2-b^2)^2-4(A(a^2-b^2)±ab)^2|,Y^2=A(a^2-b^2)^2±2ab(a^2-b^2)-4a^2b^2A,Z=a^2+b^2;当A≡3(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|4a^2b^2A-(4abA±(a^2-b^2))^2|,Y^2=4a^2b^2A±2ab(a^2-b^2)-A(a^2-b^2)^2,Z=a^2+b^2.这里a,b∈N^*并且a>b,gcd(a,b)=1,2|(a+b).同时具体给出了p=5时方程G的全部正整数解.

椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的整数点

设p是满足p≡5(mod12)的奇素数,q=p-3/2为奇素数或1,m为正整数且m=3p-8。运用初等数论的方法及四次丢番图方程的相关结果,给出了椭圆曲线y^(2)=(x-2)(x^(2)+2x+m)的所有整数点(x,y)。

Fibonacci三角形的一个充要条件及应用

得到Fibonacci三角形关于二元四次丢番图方程的充要条件,作为一个应用,使用与文[3]不同的方法,证明了Fibonacci三角形猜想当k=5时成立。

On the Diophantine Equation y^2= px（x^2＋ 2）

For any fixed odd prime p, let N（p） denote the number of positive integer solutions （x, y） of the equation y^2 = px（x^2 ＋ 2）. In this paper, using some properties of binary quartic Diophantine equations, we prove that ifp ≡ 5 or 7（mod 8）, then N（p） = 0; ifp ≡ 1（mod 8）, then N（p） 〈 1; if p〉 3 andp ≡ 3（rood 8）, then N（p） ≤ 2.

椭圆曲线y^2=x^3+(m-4)x-2m的整数点

设p,q为素数以及m=4p?8=q+1,或m=2p?8=q+1且p?1(mod8).给出了椭圆曲线y^2=x^3+(m?4)x?2m上所有的整数点(x,y).