三角形垂心的一个定理及其运用

定理设ΔABC的垂心为H,外接圆半径为R,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|.证明:当ΔABC为锐角三角形时,如图1,作AH⊥BC于M,BH⊥AC于N.

例谈平面向量中三角形的外心、内心、垂心的转化策略

在平面向量的学习中,经常遇到这样一种题型:已知O是△ABC的外心(内心或垂心),且pOA→+qOB→+rOC→=0(其中p,q,r为常数),求△ABC某一内角的三角函数值。这类问题,难度较大,若能抓住三角形“心”的性质,就容易求解。下面就这类问题,举例分析,供大家学习与参考。例1设O是△ABC的外心,若3OA→+4OB→+5OC→=0,则cos∠BAC的值为__。

四面体垂心研究的进展

对三角形垂心概念类比推广至四面体的研究历程进行回顾;综述垂心概念在四面体中各种推广研究所得的主要结果.

证明正交四球间15个垂心球及距离公式的算法——四维体积勾股定理的应用(公式(三))

1球至4球正交球心构成的垂心四面体,存在4点、6线、4面、1体15个垂心球,这15个垂心球间的105个间距,除了可用2点坐标的距离公式计算外;还可以摆脱坐标直接利用垂心球间距公式计算。并且证明了同态重心与垂心间距为2球半径的平方差。

直角双曲线内接三角形的垂心问题

目前,有关直角双曲线内接三角形垂心问题的研究还不多。本文用解析几何与射影几何的方法讨论这一问题,得出直角双曲线的内接三角形的垂心在原双曲线上的结论。

n维共球有限点集的垂心及其性质

应用向量方法,定义了一般n维共球有限点集的垂心概念,并揭示了它的一系列优美性质.

垂心四面体的垂心的一个向量形式——兼谈四面体的垂心与欧拉球心之间的关系

众所周知，对棱互相垂直的四面体存在惟一确定的垂心，这样的四面体称为垂心四面体．本文首先给出垂心四面体的垂心的一个向量形式并说明其应用，然后揭示四面体的垂心与欧拉球心之间的关系．

圆内接闭折线的k级垂心线长公式

本文推导了圆内接闭折线的k级垂心线长公式.

关于多边形的顶点重心与圆内接多边形的垂心的若干结论

利用递归方法给出任意多边形的中线与顶点重心的定义,再给出圆内接多边形高线的定义,然后证明圆内接多边形的高线(或所在直线)共点,由此得到圆内接多边形垂心的定义,最后给出多边形的顶点重心与圆内接多边形的垂心的若干性质。

定理“三角形外心是其中位三角形垂心”的深入推广

美国数学家R·A·约翰逊在其名著[1]中，介绍了三角形的一个美妙性质，即 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，则△ABC的外心是△DEF的垂心。

Erds-Mordell不等式在垂心处的一个精细

在非钝角三角形的垂心处给出了Erds-Mordell不等式的一个精细,得到了一条几何意义清楚的不等式链.

巧用三角形的垂心解题

（本讲适合初中） 众所周知，称三角形三条高的交点为三角形的垂心．由于垂心有着许多美妙的性质，因而在各级各类数学竞赛中屡屡出现．本文采撷几例进行解析．

垂心破解联赛加试题(高一、高二、高三)

题 在锐角三角形ABC中，AB边上的高CE与AC边上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

闭折线的垂心在外接圆上的充要条件

[数学问题292．1]设n为正整数。n≥3，R为正实数．已知闭折线A1A2A3…AnA1内接于⊙（O，R）。若此圆所在平面上一点H满足OH^→=∑^n i=1 OAi^→。则称H为此闭折线的垂心．记S=∑1≤i≤j≤n AiA^2 j．试证明：垂心H在⊙（0，R）上的充要条件是 S=（n^2-1）R^2．