角元塞瓦定理的应用

在数学学习中,平面几何是训练学生思维能力的重要环节.竞赛中与此相关的知识对于参加自主招生考试的学生来说帮助很大.下面通过塞瓦定理及相关的一些例子加以说明.

例谈用角元塞瓦定理解竞赛题

题1（日本第十一届广中杯决赛试题（2010年）第4题）如图1所示，凸四边形ABCD满足BA=BC，∠ABD=3∠CBD=3x，∠CAD=∠BDC=y，请证明y=30°．

例谈用角元塞瓦定理解竞赛题

这些题貌似只与三角形内角和定理有关，但仅仅用此知识是解答不出来的．本文将介绍另一种解法——用角元塞瓦定理及其另一种形式来解答（用正弦定理均易给出这两个定理的证明，所以不熟悉这两个定理时，用正弦定理也可给出解答）．

梅涅劳斯定理和塞瓦定理的应用

通过对梅涅劳斯定理和塞瓦定理在解题中的应用研究 ,证明共线点与共点线以及著名定理 .

塞瓦定理在n维空间的推广

本文将塞瓦定理推广到了n维空间,得到结论:A0A1…An为n维空间的单形,P为空间任一点(P不在A0,A1,…,An中的任意n个点所确定的超平面上,也不在过其中的任意n-1个顶点且与另外两个顶点所确定的直线平行的超平面上).那么各棱中点,过任意n-1个顶点与点P的超平面与对棱的交点,共2C2(n+1)个点,以及任意三顶点所确定的三角形所在平面与点P和其余顶点所确定的超平面的交点和三角形三个顶点连线的中点,总共(n(n+1)2/2个点在同一n维二次超曲面上.

塞瓦定理在空间的推广

将塞瓦定理推广到三维空间得到结论:P是不在四面体的面所在平面上的一点,且P点不在过棱且平行于对棱的平面上,则四面体的各棱中点,过各棱与点P的平面与对棱所在直线的交点,及过各顶点与点P的直线与四面体对面所在平面的交点和四面体在这个面上的顶点的连线中点,这24个点在同一个二次曲面上.当点P在四面体内或四面体的三面角的对顶角区域内时,24点二次曲面为椭圆面;当点P在四面体的面分空间所成的其它区域内时,24点二次曲面为双曲面或二阶锥面.

巧用塞瓦定理证明三线共点问题

众所周知,三线共点问题在初等几何证明中占有特殊重要的地位。解决三线共点问题的一般方法是找出一个适当的三角形,使其中的三条线是已知的塞瓦线。例如,三角形的中线或垂直平分线等。然而,相当一些涉及三线共点的更普遍问题,其中大部分最终仍要归结到塞瓦定理。

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,

运用塞瓦定理证明一类等角中的等角问题

在几何证明题里有一类这样的习题，即题设中有两个角相等，结论中也有两个角相等；结论中两个相等的角在题设中两个相等的角之中且顶点都重合，这两对角分别在公共边的两侧．我们称之为等角中的等角．题中图形的两对等角象似“手足情深”的两对“双胞胎”兄弟．它给人以如此对称之美、和谐之美的感觉．作为一种欣赏，笔者运用塞瓦定理来证明这类习题．

塞瓦定理巧证椭圆一性质

塞瓦定理是平面几何的一个著名定理之一，应用塞瓦定理不但可证明平面几何的许多定理，而且如果合理使用，也可将塞瓦定理应用到圆锥曲线上．下面笔者用塞瓦定理巧证了圆锥曲线的一个较难题目，其优点是大大地优化了课堂上所给的代数法的步骤．以下展示出来，以供读者欣赏交流．

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题，塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理，人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理，这里给出一种向量证法．

关于梅涅劳斯、塞瓦定理在平几中的应用

在平面几何的教学和初中数学竞赛的辅导中，往往会碰到一些几何题的解法或证明过程难而繁．缺少一些直观性的解题，证明方法．本文拟在中学数学教学大纲范围内用梅涅劳斯、塞瓦氏两定理来证明平面几何中的某些几何题，使证明过程化难为易．一些问题分析、思考更加直观形象，思路更为简单扼要，达到事半功倍之目的．

在配极变换下的梅耐劳断定理与塞瓦定理

本文利用配极变换说明梅氏定理与塞瓦定理之间的配极关系。

三角形中一个等式的趣味运用——塞瓦定理和梅涅劳斯定理的另类证明

在证明平面几何题时,常常需要将所要证明的结论进行转化,归结为基本几何图形——三角形.本文从课本上一道习题出发,将其推广为三角形中的一个等量表达式.它反映了三角形中各种线段之间的关系,对于解决许多有关三角形中线段的问题,往往能起到事半功倍的效.比如塞瓦定理和梅涅劳斯定理就可以通过本文的结论简单推出,三角形中的内外角平分线性质也可以得到一个有趣的证明,等等.尤其在做自招题和数学竞赛试题中,该等式非常有用.先看下面的一道习题.

塞瓦定理与三线共点

三线共点问题是数学竞赛中的热门问题之一,各种辅导书上多有介绍,许多书上都提到可用塞瓦定理的逆定理来证明,但例题偏少且对这一方法的强调也不够,实际上,塞瓦定理的逆定理应是证明三线共点的首选工具之一,凡是具有这种图形或添加辅助线后可作出这种图形的题目,都可以考虑使用塞瓦定理的逆定理,成功率是很高的。

塞瓦定理及其应用(一)

连接三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦(G·Cevo1647—1734)是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理,后世人们以他的名字来命名,叫做塞瓦定理.