利用平面向量研究含定比分点的解三角形问题

平面向量与三角形关系密切,我们可以用平面向量推导正弦定理与余弦定理.当然,我们也可以用平面向量研究一些含定比分点的解三角形问题.若点C在线段AB中,且AC=λCB(λ∈(0,+∞)),则称点C为线段AB的定比分点.那么,如何运用平面向量解三角形问题呢?下面我们一起来探讨.

由定比分点的定义引发的探究

“设P1，P2是直线l上的2个点，点P是l上不同于点P1，P2的任意一点，则存在一个实数λ，使得P1P→=λPP2→，λ叫做点P分有向线段P1P2→所成的比”这是高中数学教材第一册（下）给线段定比分点所下的定义．笔者发现，只要对定义中的等式P1P→=λPP2→稍加变形，即可得到一个与线段定比分点坐标公式极为相似的向量形式结论．下面以定理的形式给出这一结论，并对其进行空间拓广．

巧用定比分点公式解题

有向线段P1P2^-的定比分点坐标公式为x=x1+λx2/1+λ,y=y1+λ2/1+λ(*)它是一个结构整齐、对称，富于数学美的公式。

空间线段定比分点公式的另一种表达形式

给出了定比分点公式的另一种表达形式,证明了它与原表达形式间的等价性.应用所给出的定比分点公式的表达形式,能使一些问题的求解更加方便.

线段的定比分点在教材中的编排

1线段的定比分点 平均数概念涉及离散和连续量的表示，简单的数据处理、随机变量的数学期望等，在教材中是螺旋发展的^[1]。小学里就出现了算术平均数的概念，在初中平面几何里，三角形、梯形的中位线长公式实质上是一种最简单的算术平均数。算术平均数可推广到加权平均数，

关于空间定比分点坐标的研究与应用

研究了空间定比分点的定比表示形式和应用。

向量定比分点公式的伸缩形式

向量形式的定比分点公式,是大家非常熟悉的.如图1,已知→AP=λ→PB,则→OP=（→OA＋λ→OB）/（1＋λ）.使用时要注意公式的特点：P、A、B三点共线,→OP、→OA、→OB三向量共起点,且→前的系数等于→OA、→OB前系数之和,所以更多时候是使用（1＋λ）→OP=→OA＋λ→OB这个式子,省去分式之繁.

例谈定比分点坐标公式的应用

设A（x1,y1），B（x2,y2），点P（x,y）分有向线段AB所成的比为，即AP=λPB，（λ≠-1），则有x=x1＋λx2/1＋λ,y=y1＋y2/1＋λ,且当P为内分点时，λ〉0，当P为外分点时λ〈0（λ≠-1），当P与A重时，λ=0，当P与B重合时，λ不存在，这就是定比分点公式．应用定比分点公式，能使许多问题化难为易，化繁为简．有关该公式在几何中的应用，同学们已经比较熟悉．本文再给出该公式在非几何问题中的若干应用，使我们进一步体味数学解题的简洁美．

高三学生学习线段定比分点的策略

随着信息社会的发展与社会竞争的日益激烈，以及学会学习和终身教育理念的广泛普及，越来越多的人认识到：未来的文盲，不再是不识字的人，而是不会学习的人．教育的目标之一，就是要帮助学生学会使用有效的学习策略，学会自我调节学习．在倡导有效的数学教与学的同时，数学教育界应当致力于这样的目标：学生学数学必须懂数学，以此提高学生的数学能力和创造性．学生要懂得数学，必须采取有效的学习策略，才能促进理解．

妙用定比分点公式巧解题

有向线段的定比分点是普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4知识点,妙用定比分点坐标公式解题,解法新颖,可以极大开拓思维,提升数学学科素养.

例谈定比分点公式在代数中的两方面应用

在定比分点公式中,利用定比的设置来谈谈定比分点公式在代数中的两方面应用;它能给人以赏心悦目之感.

用定比分点解题应注意的问题

用定比分点解题务必要注意变换的等价性或条件的充要性．例如：λ=b-a/c-b，a〈b〈c→λ〉0但反过来不成立，即λ〉0→a〈b〈c,事实上，λ=b-a/c-b→←（b-a）（c-b）〉0→←a〈b〈c或c〈b〈a.

赏析抛物线中的定比分点问题

高考对解析几何中的定比分点考查比较常见,尤其直线和抛物线相交产生的定比分点问题更是高频考点。本文尝试从“一般弦”和“焦点弦”这两种常见弦出发探讨定比分点问题的解法,以期获得一些解决类似问题的通法。

三角形顶点与其对边定比分点连线的一个性质及其应用

本文介绍三角形顶点与其对边定比分点连线的三条直线的一个性质，以下简称“定理”（发现时间：2004年5月），这个定理给出了此三条直线的位置关系的判别，并且还给出了这三条直线所围成三角形的面积公式．它有一定的应用价值，可以说它是塞瓦定理及其逆定理的推广．

有关定比分点公式的几个结论

我们都知道,在平面直角坐标系下,设一线段的端点坐标为 P1（x1,y1）,P:（x1,y1）,点 P 分 P1P2的定比为λ,即（P1P）/（PP2）=λ,则 P 点的坐标这就是定比分点公式.下面就这个公式进行一些讨论,并得出几个有用的结论.