平面几何六大定理在解析几何中的运用

以例证的形式给出了圆幂定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、蝴蝶定理、帕斯卡定理、托勒密定理在解析几何中的应用.通过相关定理的应用,就能知来路,寻通途,觅幽径,至大道.

一个新的积分第二中值定理

在加强了假设条件的基础上,得到了一个新的积分第二中值定理.与原定理相比较,新的定理具有明显的几何意义,更富有数学美感.另外,说明了不同形式的积分第二中值定理的相互等价性.

从罗尔定理到山路定理

山路定理是现代临界点理论的标志性结果,它是证明非线性椭圆型偏微分方程有解的重要工具。本文旨在研究有限维山路定理的初等证明以及有限维山路定理与微积分之间的关系。再在此基础上,给出山路定理的应用实例。本文从教学实际出发,为学生进入研究生阶段理解非线性分析中的重要定理提供有益帮助。

正弦、余弦定理的基本应用知多少

我们知道,正弦定理与余弦定理的基本功能是解三角形,那么这两个定理有哪些基本应用呢?我们一起来盘点。

射影定理的几个应用

对于解三角形问题,我们往往想到正弦定理和余弦定理,其实还有一个定理对解三角形问题中式子的化简十分有用,它就是三角形中的射影定理.

巧用拉密定理求解平衡问题

求解共点力作用下平衡问题的常用方法有力的合成与分解法、正交分解法、相似三角形法、辅助圆法,以及正弦定理法和余弦定理法等。应用这些方法求解平衡问题的前提条件是在完成正确的受力分析后准确作出力的平行四边形或矢量三角形示意图,这对同学们作图能力的要求较高,求解过程也比较烦琐。

基于中国剩余定理的NFC安全认证算法

针对近场通信技术在应用中出现的安全隐患问题,给出一种基于中国剩余定理的算法。算法利用中国剩余定理实现对传送信息进行加密,中国剩余定理基于数学中大素数分解难题,使得攻击者无法进行破解;所有信息加密过程中混入随机数,用于保证消息的新鲜性;算法在进行信息更新时采用伪随机函数计算,因伪随机函数具备的单向性,使得攻击者无法分析出有用隐私信息。将不同算法对比安全分析,表明该算法能够抵抗重放攻击、异步攻击等多种攻击。通过性能角度及仿真实验对多个算法进行分析,结果表明该算法计算时间复杂度低于其他算法。

基于概念生长的单元整体教学设计——以余弦定理和正弦定理为例

当前正弦、余弦定理的教学大多注重公式的记忆和应用,疏忽了发现和探索,以及知识联系和框架的构建.文章基于概念生长设计单元整体教学模式,重构解三角形章节内容,帮助学生把握整体框架,自主探求定理.

基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题的虚单元法求解

应变-旋转(Strain-Rotation,S-R)和分解定理为分析几何非线性问题提供了合理可靠的理论基础,但用有限元求解时会遇到大变形发生后的网格畸变问题。近年提出的虚单元法(Virtual element method,VEM)适用于一般的多边形网格,因此,该文尝试使用一阶虚单元求解基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题,以克服网格畸变的影响。基于重新定义的多项式位移空间基函数,推演获得一阶虚单元分析线弹性力学问题时允许位移空间向多项式位移空间的投影表达式;按照虚单元法双线性格式的计算规则,分析处理基于更新拖带坐标法和势能率原理的增量变分方程;进而建立离散系统方程及其矩阵表达形式,并编制MATLAB求解程序;采用常规多边形网格和畸变网格,应用该文算法分析均布荷载下的悬臂梁和均匀内压下的厚壁圆筒变形。结果与已有文献和ANSYS软件的对比表明:该文算法在两种网格中均可有效执行且具备足够数值精度。总体该文算法为基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题求解提供了一种鲁棒方法。

改进的Mertens第一定理估计及应用

在Mertens第一定理的基础上,利用定积分估计的主要思想和Stirling’s公式的估计,对Mertens第一定理中的估计不等式进行了进一步的精确化,得到了更好的估计。改进的估计结果比原来的Mertens第一定理中的估计更加精确。把改进的Mertens第一定理估计应用到一个具体的渐近公式中,提高了该渐近公式中Landau记号里对应常数的精度范围。

集合论、笛卡尔乘积和多项式定理在生命表研究中的应用:以取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫生命表为例

【目的】自我重复取样技术(bootstrap technique)广泛用于计算生命表各参数的方差、标准误和置信区间(confidence interval),而配对自我重复取样检验(paired bootstrap test,PBT)则用于检测处理间的生命表参数差异。本研究以取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫Helicoverpa armigera生命表为例,进一步解释集合论、笛卡尔乘积和多项式定理在害虫种群生物学研究中的应用。【方法】利用年龄-龄期两性生命表对取食玉米粒和茶树叶片的棉铃虫种群参数进行分析,利用集合论、笛卡尔乘积和多项式定理将种群统计分析以明确数学的方法呈现,以检测所有可能的自我重复取样样本、精确计算种群参数置信区间以及处理之间差异的置信区间,计算可育和不育样本的概率。【结果】取食茶树叶片的棉铃虫其成虫前期存活率、内禀增长率(r)、周限增长率(λ)、净增殖率(R_(0))、平均世代周期(T)均显著低于取食玉米粒的,说明茶树叶片不是棉铃虫的适宜寄主植物。因取食茶树叶片棉铃虫种群不育样本数较多,利用bootstrap重复取样接受可育与不育样本时,其结果与不用bootstrap技术计算的差异小于5%;若取样时仅接受可育样本,结果与原数值差异显著,误差较大(>5%)。使用笛卡尔配对检验(Cartesian paired test,CPT)比较取食两种食物的棉铃虫种群的R0的差异时,可计算两种处理bootstrap抽样结果所有可能差异的精确置信区间,而使用自我重复取样检验通常会导致置信区间的估值过高或过低,尤其是自我重复取样数较小时。多项式定理可以揭示可育和不育样本的自我重复取样结果。自我重复取样抽样记录必须保留,以便在后续分析中进一步应用。【结论】本研究进一步明确了两性生命表理论的数学基础,也为昆虫学研究中的生命表技术的应用提供数学支撑。

利用壳层定理求解地球隧道问题

地球隧道问题是物理教学、科幻作品和科普教育中常见的物理模型。文章从学生熟悉的高中几何证明思路入手,提出了基于壳层定理的地球隧道问题求解方法。该方法思路简单,理解难度较低,可避免学生在未理解高斯定理内涵的情况下强行利用高斯定理证明地球隧道问题的迷茫。

数学史视角下正弦定理的证明

正弦定理是平面几何学的基本定理,文章从不同角度出发,按数学史时间的顺序,介绍16种证明方法,从最初的同径法到外接圆法,再到近现代的各种巧妙证法,从不同的证明方法中回顾正弦定理的发展史,通过对不同方法的分析比较,展现数学知识之间的联系,体现数学的美.

由Chvátal定理引出的关于一些无穷可分分布的概率函数的下确界

受Chvátal定理的启发,本文研究了概率P(X≤κE[X])的下确界,其中κ是一个正实数, X是一个随机变量.利用分析的方法,我们得到了当随机变量的分布属于无穷可分分布,包括逆高斯分布,对数正态分布, Gumble分布和Logistic分布,时该随机变量不超过其期望的概率的下确界.

非保守广义Chaplygin系统的Herglotz型Noether定理

Herglotz原理是非保守系统的变分原理,它是经典Hamilton原理的一个推广.在非保守情形,现有推广形式的Hamilton原理尽管也可导出运动方程,但实际上不再是变分原理.Noether定理是分析力学的一个基本原理,它阐明了对称性和守恒律的相关性,利用Noether定理可找到比牛顿力学和分析力学更多的守恒律.Chaplygin系统是一类特殊而又应用广泛的非完整系统,其方程可独立于约束方程进行研究.非保守广义Chaplygin系统则是Chaplygin系统对非保守力学的推广,因此研究建立该系统的Herglotz型Noether定理具有重要意义.文章针对非完整约束系统,提出基于Herglotz原理建立非保守广义Chaplygin系统的动力学方程,利用变分关系以及虚位移的Chetaev条件,从关于Hamilton-Herglotz作用量的微分方程出发推导建立其全变分方程并求解,由此导出非保守广义Chaplygin系统的作用量的全变分.给出Herglotz型Noether对称变换及准对称变换的定义,在此基础上利用全变分公式导出其判据(Noether等式),建立并证明非保守广义Chaplygin系统Herglotz形式的Noether定理,得到新型守恒量.最后,针对两个具体的非保守非完整系统,建立了它们的Herglotz型广义Chaplygin方程、判据方程和Chetaev条件,解出生成元,由文中所得定理找到了系统的守恒量,验证了结果的有效性.

浅谈安培环路定理的使用

通过应用安培环路定理求解了有限长载流直导线的磁感应强度,说明了“有限长度”的数学条件和物理背景.从麦克斯韦方程的积分形式和微分形式,讨论了安培环路定理的使用场景,阐明了非对称电流密度分布情况下求解稳恒磁场的基本思想——边界条件确定磁场,并拓展至应用高斯定理求解非对称电荷密度分布静电场问题.

广义Birkhoff系统分数阶最优控制问题的Noether定理

探讨了广义Birkhoff系统分数阶最优控制问题的Noether定理。首先,基于Caputo分数阶导数提出广义Birkhoff系统的分数阶最优控制问题,并运用分数阶变分方法得到了广义Birkhoff系统的分数阶最优控制问题的极值条件。然后,运用分数阶微积分和分数阶变分方法讨论了泛函在无穷小变换群作用下的不变性,分别给出了其时间不变和时间变化情况下的分数阶最优控制问题的Noether定理。最后,应用实例显示方法的有效性。

边加权有限图的Weil-Riemann-Roch定理

Riemann-Roch定理是数学中的一个重要结论,并有了广泛的应用。在有限图和边加权有限图等图中也有对应的Riemann-Roch定理以及应用,但所有这些工作都有一个共同点,那就是它们都聚焦于在除子或和除子线性等价的线丛的情况下,也就是秩为1的情况。为了得到高维秩的情形,可以借助多重除子的术语来描述。本文利用还原群GLn的root datum的概念给出了边加权有限图上主GLn-丛——向量丛的定义,并用多重除子的术语来描述向量丛,进而给出了边加权有限图的Weil-Riemann-Roch定理以及证明,推广了GROSS A.ULIRSCH M.和ZAKHAROV D的结果。

从形同陌路到亲如一家:关于正余弦定理关系的历史考察

已有学者探讨了正弦定理与余弦定理的等价性,然而历史上它们的等价关系并非一开始就如此明晰.另外,虽然有学者对正余弦定理各自的发展史作了详细梳理,但是却鲜有学者关注正余弦定理的关系及其发展历程.文章试图探寻不同历史时期下正弦定理与余弦定理的关系及其发展,从而尝试回答:拥有不同起源的两个定理到底是如何殊途同归的?揭示两个定理关系的发展历程对于我们今天的数学教学有何启示?研究的最大挑战在于捕捉每个历史阶段中数学家们的思路历程与局限之处,并从中揭示那些推动或阻碍正余弦定理关系发展的重要原因.

翻转课堂教学模式的课中教学设计研究——以牵连运动是定轴转动的加速度合成定理为例

翻转课堂教学模式是目前教学改革的重要方向之一,其核心在于将学习过程的主动权交给学生,使他们能够在课堂之外自主掌握基础知识,而课堂时间则用于更高层次的认知活动。课前学习、课中教学和课后拓展相互关联共同构成一个翻转课堂教学模式的闭环。课中教学是翻转课堂教学过程中至关重要的一环,课中教学的目标是通过互动和实践活动来巩固和深化学生的理解,以及提高他们的批判性思维和问题解决能力。在《理论力学》中,运动学部分牵连运动以定轴转动的加速度合成定理为教学案例,探索翻转课堂课中教学设计的实施途径。